נוסחת קושי-בינה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה ליניארית, נוסחת קושי בינה היא נוסחה לדטרמיננטה של מכפלת מטריצות שאינן דווקא ריבועיות.

הדטרמיננטה מוגדרת רק למטריצות ריבועיות. היא כפלית, כלומר מקיימת את הזהות לכל שתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר. נוסחת קושי בינה מכלילה את הזהות גם למטריצות שאינן דווקא ריבועיות.

הנוסחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהיינה מטריצות מסדר בהתאמה. נסמן ב- את קבוצת כל תתי הקבוצות של מגודל m. עבור , נסמן ב- את המטריצה המתקבלת מהעמודות של A באינדקסים הנמצאים ב- (בסדר המקורי), וב- את המטריצה המתקבלת מהשורות של B באינדקסים הנמצאים ב- (בסדר המקורי). אז מתקיים:

הנוסחה מעניינת כאשר n>m. אם n=m, אז כלומר תת-הקבוצה היחידה היא הקבוצה כולה ואז המטריצות זהות למקוריות ומתקבלת הזהות . אם m>n, אין תתי קבוצות כאלה ולכן הסכום הוא הסכום הריק ששווה ל-0, ואכן במקרה זה הדטרמיננטה בהכרח 0 כי המטריצה לא הפיכה משיקולי דרגות. לכן הנוסחה נכונה תמיד.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסמן את העמודה ה-i של מטריצה ב- כמו כן, נסמן ב-, כאשר הם וקטורי עמודה, את המטריצה המתקבלת מהם. לבסוף נסמן ב- את קבוצת כל התמורות על .

נשתמש במולטילינאריות הדטרמיננטה ובנוסחה הישירה ונקבל:

כרצוי.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להכליל את המשפט באופן הבא: תהיינה מטריצות מסדר בהתאמה. תהיינה תתי קבוצות של בהתאמה בגודל k. נסמן ב- את קבוצת כל תתי הקבוצות של מגודל k. עבור תתי קבוצות של טבעיים, נסמן ב- את המטריצה המתקבלת מהשורות של שנמצאות ב-, והעמודות של הנמצאות ב-. אז מתקיים:

.