אלגברה ליניארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

שני מישורים במרחב שהחיתוך ביניהם הוא ישר. הנקודות בכל מישור הן הפתרונות של משוואה ליניארית בשלושה נעלמים ונקודות הישר הן הפתרונות של שתי המשוואות יחדיו.

אלגברה ליניארית (נהגה: לִינֵאָרִית) היא ענף של האלגברה העוסק במערכות של משוואות ליניאריות כמו

והעתקות ליניאריות כמו

והצגותיהן בעזרת מטריצות ומרחבים וקטוריים (בהתאמה).[1]

אלגברה ליניארית היא תחום מרכזי במתמטיקה שחיוני לתחומים רבים אחרים. למשל, אלגברה ליניארית היא חיונית להצגה מודרנית של גאומטריה, שהרי היא מגדירה את מונחי היסוד של נקודה, ישר ומישור. נעשה שימוש נרחב באלגברה ליניארית במסגרת האלגברה המופשטת, האנליזה הפונקציונלית והגאומטריה האנליטית. כמו כן נעשה שימוש באלגברה ליניארית גם במסגרת מדעי החברה ומדעי הטבע.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחד מהיסודות האלגברה הליניארית הונחו על ידי רנה דקארט שפיתח את מערכת הצירים הקרטזית (הקרויה על שמו) ב-1637 לתיאור המישור והשתמש בה במסגרת הגאומטריה האנליטית לתקוף בעיות של הגאומטריה הקלאסית. על מנת לציין נקודה במישור, השתמש בסימון של זוג סדור .

עוד יסוד של האלגברה הליניארית הונח על ידי וילהלם לייבניץ, שהשתמש במושג הדטרמיננטה לפתירת מערכות משוואות ב-1693. לאחר מכן, ב-1750, פיתח גבריאלו קרמר נוסחה לחישוב פתרון של מערכת משוואות, הנקרא כיום כלל קרמר. מאוחר יותר, השתמש קרל גאוס בשיטת החילוץ של גאוס (הנקראת גם שיטת הדירוג של גאוס) לפתירת מערכות משוואות.

האלגברה הליניארית המודרנית החלה את דרכה בשנים 1843 ו-1844. ב-1843 גילה ויליאם רואן המילטוןטבע את המונח וקטור בהקשרו האלגברי) את אלגברת הקווטרניונים. ב-1844 פרסם הרמן גראסמן את ספרו "על אלגברה ליניארית". ב-1857 גילה ארתור קיילי את המטריצה - אחת מאבני היסוד של האלגברה הליניארית.

למרות פיתוחים אלו, האלגברה הליניארית פותחה בעיקר במאה ה-20.

תחומי מחקר[עריכת קוד מקור | עריכה]

שדה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – שדה (מבנה אלגברי)

שדה זהו מבנה אלגברי הכולל לפחות שני איברים, 0 ו-1 בעל שתי פעולות בינאריות, המסומנות ב-"" ו-"" (חיבור וכפל) המקיים לכל ב- :

  • (קומוטטיביות, חוק החילוף)
  • (אסוציאטיביות, חוק הקיבוץ)
  • (0 הוא איבר נייטרלי)
  • לכל a קיים b כך ש- (לכל איבר קיים נגדי)
  • לכל a שונה מ-0 קיים b כך ש-(קיום הופכי)
  • (דיסטריבוטיביות, חוק הפילוג)

מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידות של האיברים הנייטרליים (כלומר, התכונה ' לכל a' מייחדת את איבר האפס, וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.

מרחב וקטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרחב וקטורי

מרחב וקטורי מעל שדה (כגון שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים) זהו מבנה אלגברי בעל 2 פעולות בינאריות "" ו-"" המקיים מספר תכונות. איברי המרחב הווקטורי נקראים וקטורים ואיברי השדה נקראים סקלרים. הפעולה הראשונה נקראת חיבור וקטורי והשנייה נראית כפל בסקלר, מכיוון שהפעולה הראשונה היא והשנייה . התכונות הן:

  • המבנה (עבור כלשהו) הוא חבורה אבלית, כלומר: החיבור אסוציאטיבי וקומוטטיבי, (הנקרא "וקטור האפס", לא האיבר הנייטרלי של F) הוא איבר נייטרלי של V, ולכל איבר יש נגדי;
  • לכל
  • לכל
  • לכל
  • לכל כאשר 1 הוא איבר היחידה בשדה F.

לדוגמא, (אוסף הווקטורים באורך n שרכיביהם בשדה F) הוא מרחב וקטורי מעל F. כל מרחב וקטורי מממד סופי איזומורפי למרחב מצורה זו.

צירוף ליניארי, בסיס ותת-מרחב[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – צירוף ליניארי, בסיס (אלגברה), קבוצה פורשת, תלות ליניארית, ממד (אלגברה ליניארית)

תת-מרחב ליניארי, בצורה לא פורמלית, הוא מרחב וקטורי שנמצא בתוך מרחב וקטורי, ביחס לאותן הפעולות. כלומר, אם ניקח 2 איברים בתת-המרחב, סכומם בתת-המרחב יהיה בדיוק כמו סכום במרחב עצמו, ואותו דבר עבור כפל בסקלר. מכיוון שפעולות אלו הן אותו דבר, הן כבר מקיימות את כל האקסיומות של קומוטטביות, אסוציאטיביות, וכו', מה שאומר שהתכונות שצריכות להתקיים בתת-קבוצה של מרחב וקטורי V כדי שהוא יהי תת-מרחב ליניארי L זה שלכל יתקיים גם כן. תכונות אלו נקראות "סגירות ביחס לחיבור" ו"סגירות ביחס לכפל בסקלר" בהתאמה.

במרחב וקטורי V מעל שדה F, הווקטור מוגדר להיות צירוף ליניארי של אוסף הווקטורים אם עבור כלשהם (המקדמים). הפרישה (span) של סדרת (אוסף) וקטורים כזו היא אוסף כל הצירופים הליניאריים שלה, מה שיוצר תת-מרחב. בהינתן סדרת וקטורים , ניתן להציג את כצירוף ליניארי שלהם על ידי מקדמי 0. אם זאת הדרך היחידה שבה ניתן להציג את כצירוף ליניארי של הסדרה, הסדרה תיקרא בלתי תלויה ליניארית. בסיס של מרחב וקטורי V זו סדרת וקטורים בת"ל (בלתי תלויה ליניארית) שפורשת את V. בסיסים מקיימים את התכונה שכל סדרה פורשת ניתן לצמצם לבסיס וכל סדרה בת"ל ניתן להשלים לבסיס.

לכל שני בסיסים (בהנחה והם סופיים) של מרחב וקטורי V יש אותו גודל, המוגדר להיות המימד של V, ומסומן ב- או ב-. בהינתן בסיס של מרחב וקטורי V מעל שדה F, נוכל ליצור קואורדינטות: הווקטור עם הקורדינאטות יהיה הווקטור . לכל וקטור יש קורדינאטות בגלל שהסדרה פורשת, והקורדינטות הן יחידות בגלל שהסדרה בת"ל. לכן, קורדינאטות מוגדרות ביחידות לכל וקטור, מה שנותן דרך לייצג כל וקטור כ-סקלרים.

עבור שני תת-מרחבים של V, ו-, נגדיר את סכומם להיות , ובצורה כללית יותר, עבור s תתי מרחבים, סכומם יהיה . נשים לב, כי סכום של תתי מרחב הוא תת-מרחב בעצמו.

בניסיון לחישוב מימד של סכום תתי מרחבים, נמצאה נוסחה הנקראת משפט הממדים:

[2]

העתקות ליניאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – העתקה ליניארית

בהינתן שני מרחבים וקטוריים V ו-W מעל אותו שדה F, העתקה ליניארית (הנקראת גם טרנספורמציה ליניארית) מ-V ל-W היא פונקציה שהיא סגורה ביחס לחיבור ולכפל בסקלר, כלומר:

לכל .

אם העתקה ליניארית היא חח"ע ועל, נאמר שהיא איזומורפיזם, ושהמרחבים V ו-W הם איזומורפיים זה לזה. אם שני מרחבים (מעל אותו שדה) הם איזומורפיים זה לזה, הדבר שקול להיותם שווי מימד.

לכל העתקה ליניארית מוגדרים 2 תתי מרחבים: (כל הווקטורים שנשלחים ל-0), (כמו תמונה של פונקציה רגילה). לא קשה להוכיח ששניהם תתי מרחבים. יש קשר בין הממדים שלהם, הנקרא משפט הממד:

תורת המטריצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – מטריצה, כפל מטריצות, מטריצה הפיכה, דמיון מטריצות,דטרמיננטה

מטריצה (מעל שדה F) היא מערך של סקלרים ב-F, בצורה של שורות ועמודות. דוגמה פשוטה למטריצה מעל הממשיים היא . שמותיהן לרוב מסומנות באותיות לטיניות גדולות.

באופן כללי, מטריצה היא דרך טובה מאוד להציג אינפורמציה. שני שימושים בולטים הם הצגה של העתקה ליניארית באמצעות מטריצות, והצגה של תבנית ריבועית באמצעות מטריצה סימטורית.

לכל העתקה ליניארית, כך ש- ו-, בהינתן שני בסיסים קבועים ל-V ו-W, אפשר להתאים להעתקה הליניארית מטריצה מסדר באמצעות שימושים בקורדינאטות. ברוב המקרים, מתעניינים בהעתקות ומשתמשים באותו הבסיס פעמיים, כדי ליצור מטריצה ריבועית. באופן הזה, כל מושג שמוגדר להעתקות ליניאריות ניתן להגדיר למטריצות ולהפך.

נשים לב, שהתאמה זו היא תלויה בבסיס, מה שיוצר מצב שבו העתקה אחת יכולה להתאים להרבה מטריצות, ומטריצה אחת יכולה להתאים להרבה העתקות. כדי להתמודד עם הבעיה הזאת, הוגדר מושג נוסף: 2 מטריצות ריבועיות נקראות דומות אם הן מייצגות אותה העתקה ליניארית בבסיסים שונים (אותו בסיס ל-V פעמיים). בכל מקרה, הייצוג הזה יוצר קשר עמוק מאוד בין העתקות ליניאריות ומטריצות.

למשל, בהינתן כך שהמטריצה שמייצגת של T היא A ושל S היא B, המטריצה מוגדרת להיות המטריצה המייצגת של (ביחס לבסיסים הנתונים). אחרי חישוב קל, מוצאים גם נוסחה מפורשת עבור כפל מטריצות. אפשר להגדיר כפל מטריצות באמצעות הנוסחה המפורשת, אבל הרבה יותר פשוט לאמר שזו מטריצה מייצגת של הרכבת טרנספורמציות.

חלק מרכזי מתורת המטריצות היא הדטרמיננטה. דטרמיננטה זה פונקציה מקבוצת המטריצות הריבועית לשדה מעליו הן מוגדרות. מבחינה גאומטרית, אם ניקח מטריצה n על n ונשרטט את n הווקטורים (שורות המטריצה) ב-, נוכל להשלים אותם למקבילון. הדטרמיננטה של המטריצה היא "הנפח המכוון של המקבילון" (זוהי ההגדרה של נפח מכוון).

לדטרמיננטה יש תכונות רבות. במקרים רבים, כשמנסים לברר משהו מסוים בפיזיקה, מדעי מחשב או תחומי מדע שונים, אפשר לחשב דטרמיננטה ולמצוא תשובה. קודם כל, היא מקיימת את התכונה שמטריצה ריבועית A היא מטריצה הפיכה אם ורק אם . מזה נובע, שסדרת וקטורים (שאורכה הוא כמו גודל ממדה) היא בלתי תלויה ליניארית אם ורק אם הדטרמיננטה של מטריצה ששורתיה הן הווקטורים לא מתאפסת.

וקטורים וערכים עצמיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – וקטור עצמי, ערך עצמי, מטריצה לכסינה

העתקות ליניאריות יכולות להיות מאוד מסובכות. בדיקה על ממדים קטנים מראה סוגים מרובים שלהם. וקטוריים עצמיים מפשטים חישובים על העתקות ליניאריות ועל מטריצות.

בהינתן העתקה ליניארית , וקטור עצמי הוא וקטור עם ערך עצמי המקיימים:

.

העתקה ליניארית תקרא לכסינה אם קיים בסיס של וקטורים עצמיים. אם נייצג את ההעתקה במטריצה בבסיס של הווקטורים העצמיים, המטריצה תהיה מטריצה אלכסונית עם הערכים העצמיים באלכסון. עבור מטריצות, מטריצה תקרא לכסינה אם היא מייצגת העתקה ליניארית לכסינה, כלומר, היא דומה למטריצה אלכסונית.

אם מטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה, זה יקל מאוד על חישובים. כפל מטריצות, דטרמיננטה ומטריצה הופכית הן דוגמאות לדברים שנוח לחשב כשמטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה. אפשר למשל, באמצעות לכסון, למצוא נוסחה מפורשת לאיברי סדרת פיבונאצ'י (ולמעשה כל סדרה רקורסיבית דומה).

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת משוואות ליניאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת משוואות ליניארית זו משוואה מהצורה:

כאשר הם המשתנים, הם המקדמים של המשתנים ו- הם המקדמים החופשיים. כל אלה הם איברים בשדה F, ולרוב השדה הזה הוא המספרים הממשיים. אם מקיימים את המשוואות, הם והצגתם כ- נקראים פתרון.

2 מערכות משוואות ליניאריות נקראות שקולות אם יש להן אותן פתרונות. אפשר "להגיע" ממערת אחת למערכת שקולה באמצעות שימוש חוזר של 3 פעולות:

  • החלפת השורות של שתי משוואות
  • כפל בסקלר שונה מ-0 של כל המקדמים (גם החופשיים)
  • הוספת שורה מוכפלת בסקלר לשורה אחרת

וכל עשייה של הפעולות הללו תביא מערכת משוואות שקולה. נאמר שמערכת משוואות היא מדורגת קנונית אם:

  • המקדם הפותח (האיבר הראשון בכל שורה שהוא לא 0) הוא 1, בכל שורה.
  • האיבר הפותח של כל שורה נמצא משמאל לאיבר הפותח של השורה הבאה (מכאן המילה "מדורג").
  • בכל עמודה בה אחד המקדמים הוא פותח, כל השאר שווים ל-0.

אחד המשפטים הבסיסיים של אלגברה ליניארית אומר שכל מערכת משוואות ליניארית ניתן להביא לצורה מדורגת קנונית (ראו שיטת הדירוג של גאוס), ומכאן נובעות הרבה תכונות של מערכות משוואות ליניאריות, ביניהן שלכל מערכת יש 0, 1, או אינסוף פתרונות.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

Office-book.svg ספר: אלגברה ליניארית
אוסף של ערכים בנושא הזמינים להורדה כקובץ אחד.
  • אלגברה ליניארית, האוניברסיטה הפתוחה
  • אלגברה ליניארית 2, האוניברסיטה הפתוחה, תשמ"ב
  • שמשון עמיצור, אלגברה א', האוניברסיטה העברית, תש"ל
  • אמנון יקותיאלי, מבוא לאלגברה ליניארית, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
  • בן ציון קון ואברהם ברמן, אלגברה ליניארית
  • סיימור ליפשיץ, אלגברה ליניארית
  • שלמה הבלין ויפית מעין, אלגברה ליניארית - תאוריה ותרגילים ,אוניברסיטת בר-אילן

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אלגברה ליניארית בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Weisstein, Eric. "Linear Algebra". From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. Wolfram. בדיקה אחרונה ב-16 בפברואר 2018. 
  2. ^ Axler (2204), עמוד 33