אלגברה ליניארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

שני מישורים במרחב שהחיתוך ביניהם הוא ישר. הנקודות בכל מישור הן הפתרונות של משוואה ליניארית בשלושה נעלמים ונקודות הישר הן הפתרונות של שתי המשוואות יחדיו.

אלגברה ליניארית (נהגה: לִינֵאָרִית) היא ענף של האלגברה העוסק במערכות של משוואות ליניאריות כמו

והעתקות ליניאריות כמו

והצגותיהן בעזרת מטריצות ומרחבים וקטוריים (בהתאמה).[1]

אלגברה ליניארית היא תחום מרכזי במתמטיקה שחיוני לתחומים רבים אחרים. למשל, אלגברה ליניארית היא חיונית להצגה מודרנית של גאומטריה, שהרי היא מגדירה את מונחי היסוד של נקודה, ישר ומישור. נעשה שימוש נרחב באלגברה ליניארית במסגרת האלגברה המופשטת, האנליזה הפונקציונלית והגאומטריה האנליטית. כמו כן נעשה שימוש באלגברה ליניארית גם במסגרת מדעי החברה ומדעי הטבע.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחד מהיסודות האלגברה הליניארית הונחו על ידי רנה דקארט שפיתח את מערכת הצירים הקרטזית (הקרויה על שמו) ב-1637 לתיאור המישור והשתמש בה במסגרת הגאומטריה האנליטית לתקוף בעיות של הגאומטריה הקלאסית. על מנת לציין נקודה במישור, השתמש בסימון של זוג סדור .

עוד יסוד של האלגברה הליניארית הונח על ידי וילהלם לייבניץ, שהשתמש במושג הדטרמיננטה לפתירת מערכות משוואות ב1693. לאחר מכן, ב1750, פיתח גבריאלו קרמר נוסחה לחישוב פתרון של מערכת משוואות, הנקרא כיום כלל קרמר. מאוחר יותר, השתמש קרל גאוס בשיטת החילוץ של גאוס (הנקראת גם שיטת הדירוג של גאוס) לפתירת מערכות משוואות.

האלגברה הליניארית המודרנית החלה את דרכה בשנים 1843 ו-1844. ב-1843 גילה ויליאם רואן המילטוןטבע את המונח וקטור בהקשרו האלגברי) את אלגברת הקווטרניונים. ב-1844 פרסם הרמן גראסמן את ספרו "על אלגברה ליניארית". ב-1857 גילה ארתור קיילי את המטריצה - אחת מאבני היסוד של האלגברה הליניארית.

למרות פיתוחים אלו, האלגברה הליניארית פותחה בעיקר במאה ה-20.

תחומי מחקר[עריכת קוד מקור | עריכה]

שדה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – שדה (מבנה אלגברי)

שדה זהו מבנה אלגברי הכולל לפחות שני איברים, 0 ו-1 בעל שתי פעולות בינאריות, המסומנות ב-"" ו-"" (חיבור וכפל) המקיים:

מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידות של האיברים הנייטרליים (כלומר, התכונה ' לכל a' מייחדת את איבר האפס, וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.

מרחב וקטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרחב וקטורי

מרחב וקטורי מעל שדה (לרוב המספרים הממשיים) זהו מבנה אלגברי בעל 2 פעולות בינאריות "" ו-"" המקיים מספר תכונות. איברי המרחב הוקטורי נקראים וקטורים ואיברי השדה נקראים סקלרים. הפעולה הראשונה נקראת חיבור וקטורי והשניה נראת כפל בסקלר, מכיוון שהפעולה הראשונה היא והשניה . התכונות הן:

  • המבנה (עבור כלשהו) הוא חבורה אבלית, כלומר: החיבור אסוציאטיבי וקומוטטיבי, (הנקרא "וקטור האפס", לא האיבר הנייטרלי של F) הוא איבר נייטרלי של V, ולכל איבר יש נגדי;
  • לכל
  • לכל
  • לכל
  • לכל כאשר 1 הוא איבר היחידה בשדה F.

דוגמה חשובה למרחב וקטורי , שזה אוסף כל ה-nיות של מספרים ממשיים. למשל, . דוגמה חשובה נוספת היא (הכללה של הקודמת), שזה אוסף כל ה-nיות של סקלרים מ-F.

צירוף ליניארי, בסיס ותת-מרחב[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – צירוף ליניארי, בסיס (אלגברה), קבוצה פורשת, תלות ליניארית, ממד (מתמטיקה)

תת-מרחב ליניארי, בצורה לא פורמלית, הוא מרחב וקטורי שנמצא בתוך מרחב וקטורי, ביחס לאותן הפעולות. כלומר, אם ניקח 2 איברים בתת המרחב, סכומם בתת-המרחב יהיה בדיוק כמו סכום במרחב עצמו, ואותו דבר עבור כפל בסקלר. מכיוון שפעולות אלו הן אותו דבר, הן כבר מקיימות את כל האקסיומות של קומוטטביות, אסוציאטיביות, וכו', מה שאומר שהתכונות שצריכות להתקיים בתת קבוצה של מרחב וקטורי V כדי שהוא יהי תת-מרחב ליניארי L זה שלכל יתקיים גם כן. תכונות אלו נקראות "סגירות ביחס לחיבור" ו"סגירות ביחס לכפל בסקלר" בהתאמה.

עבור שני תת-מרחבים של V, ו-, נגדיר את סכומם להיות , ובצורה כללית יותר, עבור s תתי מרחבים, סכומם יהיה . נשים לב, כי סכום של תתי מרחב הוא תת-מרחב בעצמו.

במרחב וקטורי V מעל שדה F, הוקטור מוגדר להיות צירוף ליניארי של אוסף הוקטורים אם עבור כלשהם (הנקראים המקדמים). הפרישה (span) של סדרת (אוסף) וקטורים כזו היא אוסף כל הצירופים הליניאריים שלה, מה שיוצר תת מרחב. בהינתן סדרת וקטורים , ניתן להציג את כצירוף ליניארי שלהם על ידי מקדמי 0. אם זאת הדרך היחידה שבה ניתן להציג את כצירוף ליניארי של הסדרה, הסדרה תיקרא בלתי תלויה ליניארית. עבור סדרת וקטורים שכוללת וקטור w, שניתן להציג כצירוף ליניארי של שאר איברי הסדרה (מה שהופך אותה לתלויה ליניארית), הפרישה של הסדרה תישאר זהה אם נוריד ממנה את w. אז, אנחנו מעוניינים בסדרות בת"ל (ראשי תיבות של בלתי תלויה ליניארית) שפורשת את המרחב הוקטורי V, שייקראו בסיסים של V (סדרות שהן גם בת"ל וגם פורשות). עקב כך, כל סדרת וקטורים פורשת ניתן לצמצם לבסיס, ובצורה דומה, כל סדרת וקטורים בת"ל ניתן להרחיב לבסיס.

לכל שני בסיסים (בהנחה והם סופיים) של מרחב וקטורי V יש אותו גודל, המוגדר להיות המימד של V, ומסומן ב- או ב-. בהינתן בסיס של מרחב וקטורי V מעל שדה F, נוכל ליצור קורדינאטות: הוקטור עם הקורדינאטות יהיה הוקטור . לכל וקטור יש קורדינאטות בגלל שהסדרה פורשת, והקורדינטות הן יחידות בגלל שהסדרה בת"ל. לכן, קורדינאטות מוגדרות ביחידות לכל וקטור, מה שנותן דרך לייצג כל וקטור כ- סקלרים.

בניסיון לחישוב מימד של סכום תתי מרחבים, נמצאה נוסחה הנקראת נוסחת המימדים:

העתקות ליניאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – העתקה ליניארית

בהינתן שני מרחבים וקטוריים, V,W, מעל אותו שדה F, העתקה ליניארית (הנקראת גם טרנספורמציה ליניארית) מ-V ל-W זו פונקציה שהיא בגורה ביחס לחיבור ולכפל בסקלר, כלומר:

לכל .

אם העתקה ליניארית היא חח"ע ועל, נאמר שהיא איזומורפיזם, מה שהופך את V ו-W לאיזומורפיים (כלומר שקיים איוזומורפיזם בין ה-2), שאומר שהם "כמעט אותו דבר (ביחס לפעולות החיבור והכפל בסקלר שעליהם)". לדוגמה, אם 2 מרחבים הם איזומורפיים זה שקול להיותם שווי מימד (מעל אותו שדה). לעיתים קרובות, אלגברה ליניארית מתעסקת בהיות העתקה ליניארית כלשהי איזומורפיזם או לא, ואם לא אז מה התמונה של הטרנספורמציה (האיברים ב-W שאליהם מגיעה ההעתקה) ומה הגרעין של הטרנספורמציה (כל כך ש-).

תורת המטריצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – מטריצה,כפל מטריצות,מטריצה הפיכה,דטרמיננטה

מטריצה (מעל שדה F) היא מערך של סקלרים ב-F, בצורה של שורות ועמודות. דוגמה פשוטה למטריצה מעל הממשיים היא ושמותיהן לרוב מסומנות באותיות לטיניות גדולות. מטריצה מסדר m על n (או ) היא מטריצה בעלת m שורות ו-n עמודות, ואוסף כל המטריצות מסדר m על n מעל שדה F מסומן ב-. עבור מטריצה A, האיבר בשורה ה-i שלה ובעמודה ה-j שלה הוא .

לכל העתקה ליניארית, כך ש- ו-, ובהינתן שני בסיסים ו-, אפשר להתאים להעתקה מטריצה , כך שהעמודה ה-j תהיה הקורדינאטות של לפי הבסיס שבחרנו ל-W. התאמה זו היא חד-חד ערכית ועל, כלומר שבהינתן 2 בסיסים למרחבים וקטוריים V,W, לכל העתקה ליניארית אפשר להתאים מטריצה ולהפך.

מהייצוג הזה, הרבה נוסחאות שנראות כמו דברים שצריך לשנן הן בעלות הגיון ומוטיבציה מאחוריהן. למשל, בהינתן ובסיסים לכל מרחב, והמטריצה שמייצגת של T היא A ושל S היא B, המטריצה מוגדרת להיות המטריצה המייצגת של ביחס לבסיסים הנתונים. עוד דוגמה, היא שמטריצה ריבועית (n על n) מוגדרת להיות הפיכה אם היא מייצגת העתקה ליניארית שהיא איזומורפיזם.

חלק מרכזי מתורת המטריצות היא הדטרמיננטה. דטרמיננטה זה פונקציה מקבוצת המטריצות הריבועית לשדה מעליו הן מוגדרות, ומבחינה גאומטרית, אם ניקח מטריצה n על n ונשרטט את n הוקטורים (שורות המטריצה) ה-n מימדים ב-, נוכל להשלים אותם למקבילון. הדטרמיננטה של המטריצה היא "הנפח המכוון של המקבילון" (זוהי אינה הגדרה פורמלית). לדרמיננטה שימושים רבים, אבל בין החשובים ביניהם היא לבדוק אם מטריצה היא הפיכה או לא. מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מ-0.

מערכות משוואות ליניאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת משוואות ליניארית זו משוואה מהצורה:

כאשר הם המשתנים, הם המקדמים של המשתנים ו- הם המקדמים החופשיים. כל אלה הם איברים בשדה F, ולרוב השדה הזה הוא המספרים הממשיים. אם מקיימים את המשוואות, הם והצגתם כ- נקראים פתרון.

2 מערכות משוואות ליניאריות נקראות שקולות אם יש להן אותן פתרונות. אפשר "להגיע" ממערת אחת למערכת שקולה באמצעות שימוש חוזר של 3 פעולות:

  • החלפת השורות של שתי משוואות
  • כפל בסקלר שונה מ-0 של כל המקדמים (גם החופשיים)
  • הוספת שורה מוכפלת בסקלר לשורה אחרת

וכל עשייה של הפעולות הללו תביא מערכת משוואות שקולה. נאמר שמערכת משוואות היא מדורגת קנונית אם:

  • המקדם הפותח (האיבר הראשון בכל שורה שהוא לא 0) הוא 1, בכל שורה.
  • האיבר הפותח של כל שורה נמצא משמאל לאיבר הפותח של השורה הבאה (מכאן המילה "מדורג").
  • בכל עמודה בה אחד המקדמים הוא פותח, כל השאר שווים ל-0.

אחד המשפטים הבסיסיים של אלגברה ליניארית אומר שכל מערכת משוואות ליניארית ניתן להביא לצורה מדורגת קנונית (ראו שיטת הדירוג של גאוס), ומכאן נובעות הרבה תכונות של מערכות משוואות ליניאריות, ביניהן שלכל מערכת יש 0, 1, או אינסוף פתרונות.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

Office-book.svg ספר: אלגברה ליניארית
אוסף של ערכים בנושא הזמינים להורדה כקובץ אחד.
  • אלגברה ליניארית, האוניברסיטה הפתוחה
  • אלגברה ליניארית 2, האוניברסיטה הפתוחה, תשמ"ב
  • שמשון עמיצור, אלגברה א', האוניברסיטה העברית, תש"ל
  • אמנון יקותיאלי, מבוא לאלגברה ליניארית, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
  • בן ציון קון ואברהם ברמן, אלגברה ליניארית
  • סיימור ליפשיץ, אלגברה ליניארית
  • שלמה הבלין ויפית מעין, אלגברה ליניארית - תאוריה ותרגילים ,אוניברסיטת בר אילן

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אלגברה ליניארית בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Weisstein, Eric. "Linear Algebra". From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. Wolfram. בדיקה אחרונה ב-16 בפברואר 2018.