נקודת שבת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, נקודת שֶׁבֶת של פונקציה היא נקודה בתחום של פונקציה#תחום ההגדרה של הפונקציה אשר תמונתה היא הנקודה עצמה, כלומר אם היא פונקציה אז הנקודה היא נקודת שבת אם מתקיים .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה בעלת שלוש נקודות שבת (שהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם הישר )
  • עבור הפונקציה , הערך , הוא נקודת שבת (היחידה), הואיל ו- (וזהו הפתרון היחיד למשוואה ).
  • נקודה שאינה משנה את מיקומה כתוצאה מטרנספורמציה מרחבית. לדוגמה: בסיבוב של כדור סביב צירו, הנקודות הנמצאות על הציר נותרות במקומן, והן נקודות שבת.
  • נקודות שבת "מעניינות" של פונקציה הן כאלו שאם מפעילים את הפונקציה על ערך מסוים, אחר מפעילים אותה שוב על הערך שהתקבל וכן הלאה, הולכים ומתקרבים לנקודת השבת. בניסוח פורמלי: אם עבור בחירה של הקרוב מספיק לנקודת השבת , מתקיים (כאן וכדומה). נקודת שבת כזו נקראת נקודת שבת יציבה.

משפטים הקשורים בנקודות שבת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם פונקציה רציפה אז יש לה נקודת שבת בקטע .
  • משפט ההעתקה המכווצת על הישר הממשי: תהי . אם קיים קבוע כך ש- לכל , אזי יש ל- נקודת שבת אחת ויחידה.
  • הרחבה של המשפט הקודם למרחב מטרי שלם כלשהו: משפט נקודת השבת של בנך נותן תנאי מספיק כדי שלפונקציה תהיה נקודת שבת אחת ויחידה, ומאפשר למצוא אותה על ידי הפעלה חוזרת של הפונקציה כמתואר לעיל.
  • הרחבה של המשפט הקודם לקבוצה קומפקטית וקמורה ב- הוא משפט נקודת השבת של בראואר, המוכיח קיום של נקודת שבת במצבים מסוימים, אך לא מראה דרך מעשית למצוא אותה.
  • אם פונקציה חד-חד-ערכית ועל ו- נקודת שבת של , אז היא גם נקודת שבת של .
  • אם נקודת שבת של ושל , אז היא גם נקודת שבת של .

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.