פונקציית סכום הריבועים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת המספרים, פונקציית סכום הריבועים היא פונקציה אריתמטית, שסופרת את מספר ההצגות של מספר טבעי נתון n כסכום של k ריבועים, כאשר הצגות עם סדר מחוברים שונה או סימן הפוך של המספרים המועלים בריבוע נספרות כהצגות שונות, והיא מסומנת (rk(n.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה מוגדרת באופן הבא:

כאשר מסמל את הגודל של הקבוצה. במילים אחרות, (rk(n הוא מספר הדרכים שבהן n ניתן לכתיבה כסכום של k ריבועים.

לדוגמה, מכיוון ש-, ו- מכיוון ש- (יש ארבעה צירופי סימנים). כדוגמה נוספת - , שכן אין דרך להציג את 3 כסכום של שני ריבועים.

תוצאות ידועות[עריכת קוד מקור | עריכה]

k = 2[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – סכום של שני ריבועים

את מספר הדרכים לכתוב מספר טבעי כסכום של שני ריבועים סופרת הפונקציה (r2(n. יש לה נוסחה מפורשת:

כאשר (d1(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 1 בחלוקה ב-4 ו- (d3(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 3 בחלוקה ב-4. באמצעות סימן הסכימה, הביטוי הזה ניתן לכתיבה גם כ-:

פירוק לגורמים ראשוניים , כאשר הם הגורמים הראשוניים מהצורה , ו- הם הגורמים הראשוניים מהצורה , מניב נוסחה שקולה נוספת:

התקפה אם כל המעריכים הם זוגיים. אם אחד או יותר מהמעריכים הללו הוא אי-זוגי, אז .

k = 3[עריכת קוד מקור | עריכה]

גאוס הוכיח שעבור מספר ללא גורמים ריבועיים n > 4:

כאשר (h(m מסמל את מספר המחלקה (class number) של המספר הטבעי m.

k = 4[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט ארבעת הריבועים של יעקובי

מספר הדרכים להציג את n כסכום של ארבעה ריבועים תמיד חיובי (בהתאם למשפט ארבעת הריבועים של לגראנז'), והוא מחושב בהתאם לנוסחה המפורשת של קרל גוסטב יעקב יעקובי, לפיה הוא שווה לשמונה פעמים סכום כל המחלקים של n שאינם מתחלקים ב-4, כלומר:

אם מפרקים את m לגורם זוגי וגורם אי-זוגי, כלומר כותבים אותו בצורה n = 2km, כאשר m מספר אי-זוגי, אז ניתן להציג את במונחי פונקציית סכום המחלקים באופן הבא:

k = 8[עריכת קוד מקור | עריכה]

יעקובי מצא גם נוסחה מפורשת עבור המקרה k = 8:

פונקציה יוצרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה היוצרת של הסדרה בעבור k קבוע ניתנת לביטוי במונחי פונקציית תטא של יעקובי:

כאשר

ערכים מספריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

30 הערכים הראשונים של נתונים בטבלה למטה:

n = r1(n) r2(n) r3(n) r4(n) r5(n) r6(n) r7(n) r8(n)
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 4 6 8 10 12 14 16
2 2 0 4 12 24 40 60 84 112
3 3 0 0 8 32 80 160 280 448
4 22 2 4 6 24 90 252 574 1136
5 5 0 8 24 48 112 312 840 2016
6 2×3 0 0 24 96 240 544 1288 3136
7 7 0 0 0 64 320 960 2368 5504
8 23 0 4 12 24 200 1020 3444 9328
9 32 2 4 30 104 250 876 3542 12112
10 2×5 0 8 24 144 560 1560 4424 14112
11 11 0 0 24 96 560 2400 7560 21312
12 22×3 0 0 8 96 400 2080 9240 31808
13 13 0 8 24 112 560 2040 8456 35168
14 2×7 0 0 48 192 800 3264 11088 38528
15 3×5 0 0 0 192 960 4160 16576 56448
16 24 2 4 6 24 730 4092 18494 74864
17 17 0 8 48 144 480 3480 17808 78624
18 2×32 0 4 36 312 1240 4380 19740 84784
19 19 0 0 24 160 1520 7200 27720 109760
20 22×5 0 8 24 144 752 6552 34440 143136
21 3×7 0 0 48 256 1120 4608 29456 154112
22 2×11 0 0 24 288 1840 8160 31304 149184
23 23 0 0 0 192 1600 10560 49728 194688
24 23×3 0 0 24 96 1200 8224 52808 261184
25 52 2 12 30 248 1210 7812 43414 252016
26 2×13 0 8 72 336 2000 10200 52248 246176
27 33 0 0 32 320 2240 13120 68320 327040
28 22×7 0 0 0 192 1600 12480 74048 390784
29 29 0 8 72 240 1680 10104 68376 390240
30 2×3×5 0 0 48 576 2720 14144 71120 395136

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]