פונקציית תועלת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Incomplete-document-purple.svg יש להשלים ערך זה: ערך זה עשוי להיראות מלא ומפורט, אך עדיין חסר בו תוכן מהותי. סיבה: חסר פתיח בהיר. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.

פונקציית תועלת היא מושג יסודי במיקרו-כלכלה. הפונקציה מהווה דרך נוחה מתמטית לתיאור יחס ההעדפות של מקבל החלטות. כאשר מקבל החלטות מתלבט בין אפשרויות שונות, פונקציית התועלת נותנת לכל אפשרות ערך מספרי, כאשר הערך המספרי של אפשרות א' גבוה מהערך המספרי של אפשרות ב' אם מקבל ההחלטות מעדיף ממש את אפשרות א' על פני אפשרות ב'.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי O קבוצת אפשרויות ו- \succsim יחס העדפות שלם וטרנזיטיבי על O. פונקציה u: {O} \rightarrow \mathbb{R} נקראת פונקציית תועלת המייצגת את \succsim ,

אם לכל {x} , {y} \in {O} מתקיים:

{x} \succsim {y} \quad \iff \quad u({x}) \ge u({y})

במילים אחרות, פונקציית תועלת {u} היא פונקציה המתאימה לכל תוצאה {x} מספר ממשי  u(x) באופן שלתוצאה עדיפה יותר מתאים מספר גדול יותר.

ייצוג יחס העדפות על ידי פונקציית תועלת[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להוכיח כי כל יחס ההעדפות שמקיים שלמות, טרנזיטיביות, ורציפות ניתן לתיאור על ידי פונקציית תועלת. גם אם יחס ההעדפה איננו רציף הוא ניתן לתאור על ידי פונקציית תועלת אם מספר האפשרויות הוא בן מניה.[1].

במידה ומרחב האפשרויות הוא מרחב הגרלות (כלומר, מקבל ההחלטות פועל בתנאי סיכון, הרי שאם יחס ההעדפות מקיים את אקסיומות פון נוימן-מורגנשטרן ניתן לתאר אותו על ידי פונקציית תועלת מסוג "תוחלת תועלת".

אורדינליות של העדפות ופונקציות תועלת[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכיוון שיחס העדפה שלם וטרנזיטיבי הוא יחס סדר על קבוצת האפשרויות, הרי שהוא ניתן לתאור על ידי מספר רב של פונקציות תועלת. ספציפית, אם פונקציית תועלת {u} מייצגת את יחס ההעדפות \succsim , הרי שכל העתקה (טרנספורמציה) מונוטונית עולה של פונקציה זו מתארת את יחס ההעדפה גם כן.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי:


 O = \{ a,b,c,d \}

ויחס ההעדפות \succsim ,נתון על ידי {a}\succ {b} \approx {c}\succ {d}

נשים לב שאמנם הגדרנו את היחס רק על חלק מזוגות התוצאות, אך בגלל השלמות והטרנזיטיביות נקבע היחס בין כל זוג תוצאות. למשל: {a}\succ{c}.

במקרה זה קיימות רצף של פונקציות תועלת המייצגות את היחס, שכן כל אשר {u} צריכה לקיים הוא:


\begin{align}
u(a) > u(b) = u(c) > u(d) \\

\end{align}

לדוגמה, הפונקציה {u} המוגדרת על ידי: 
\begin{align}
u(a) = 22,  u(b) = 13, u(c) = 13,  u(d) = 0 \\

\end{align}

מייצגת את \succsim המוגדר לעיל.

שימו לב כי ניתן לבנות פונקציות תועלת נוספות אשר מייצגות יחס העדפה. למשל, הפונקציה v=u^2 מייצגת את יחס ההעדפה גם כן.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ר' למשל Rubinstein A., Lecture Notes in Microeconomic Theory, גרסת 2011, עמודים 14-19