רציפות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

פונקציית הסינוס רציפה בכל נקודה
פונקציית המדרגה אינה רציפה בנקודה x=0

בחשבון אינפיניטסימלי, רציפות היא תכונה חשובה של פונקציה ממשית. באופן אינטואיטיבי (אך לא מדויק) פונקציה רציפה היא פונקציה שאפשר לצייר את גרף שלה מבלי להרים את העיפרון מהדף. רעיונות דומים מופיעים באופן כללי יותר במרחבים מטריים ואפילו מרחבים טופולוגיים כלליים - ראו רציפות (טופולוגיה).

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה רציפה בנקודה אם יש לה גבול באותה נקודה והוא שווה לערך הפונקציה. לפיכך, כמו בהגדרת גבול ניתן להגדיר רציפות בשתי גישות שונות. ניתן שלוש הגדרות שקולות:

תהי \,f פונקציה המקבלת ומחזירה ערכים ממשיים, המוגדרת בסביבה של \ x_0.

נוסח ראשון (הגדרת הרציפות על-פי ויירשטראס, בלשון \varepsilon-\delta):
הפונקציה \,f רציפה בנקודה \ x_0 אם לכל \ \varepsilon > 0 (קטן כרצוננו) קיים \ \delta>0 מתאים כך שאם \  |x-x_0| < \delta אז |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon.
נוסח שני (הגדרת הרציפות על-פי היינה, בלשון הסדרות):
הפונקציה \,f רציפה בנקודה \ x_0 אם לכל סדרה \ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty המקיימת \ x_n\to x_0 מתקיים \ f(x_{n})\to f(x_0).
נוסח שלישי (הגדרה המשתמשת בהגדרת גבול):
הפונקציה \,f רציפה בנקודה \ x_0 אם יש ל-\,f גבול \,L בנקודה \ x_0 ומתקיים \ f(x_0)=L. או בסימונים מקובלים:  \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0).

כאמור לעיל, שלוש ההגדרות לרציפות שקולות.

פעולות בין פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • סכום והפרש של שתי פונקציות רציפות הן פונקציות רציפות (דהיינו, בכל נקודה בה שתי הפוקנציות רציפות, גם פונקציות הסכום וההפרש רציפות).
  • מכפלה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.
  • מנה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה, דהיינו בכל נקודה בה הפונקציה במכנה אינה מתאפסת.
  • הרכבה של פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.

רציפות בקטע[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם פונקציה היא רציפה בכל נקודה \ x_0 בקטע, אומרים שהיא רציפה בקטע. במקרה כזה מותר למהירות שבה מתקרבים הערכים של \ f(x) לערכים של \ f(x_0) (כשהיא נמדדת בגודל של \ \delta עבור \ \varepsilon נתון) להיות תלויה ב- \ x_0. הפונקציה רציפה במידה שווה אם לכל \ \varepsilon>0 אפשר לבחור את \ \delta באופן שאינו תלוי ב- \ x_0; זוהי תכונה חזקה יותר. מאידך, לפי משפט קנטור, אם פונקציה רציפה בכל נקודה של קטע סגור (ובאופן כללי יותר קבוצה קומפקטית במרחב מטרי), אז היא רציפה במידה שווה.

מקובל לומר שפונקציה רציפה היא פונקציה בקטע ש"אפשר לצייר בלי להרים את העפרון מהדף". תיאור זה נכון לפונקציות רציפות במידה שווה, אבל סתם פונקציה רציפה (המוגדרת על קטע סופי שאינו סגור) עלולה להיות בעלת אורך אינסופי בקטע; למשל הפונקציה \ f(x)=\sin(1/x) בקטע \ (0,1].

תכונות של פונקציות רציפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

שני המשפטים נכונים באופן כללי יותר, עבור פונקציה ממשית רציפה המוגדרת על קבוצה קומפקטית (בכל מרחב טופולוגי).

  • משפט ערך הביניים אומר כי פונקציה רציפה בקטע מקבלת כל ערך שבין הערכים אותם היא מקבלת בקצות הקטע.
  • פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו.
  • רציפות בנקודה היא תנאי הכרחי (אך לא מספיק) לקיום נגזרת באותה נקודה.

נקודות אי רציפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – נקודת אי רציפות

נקודה שבה הפונקציה אינה רציפה נקראת נקודת אי רציפות. ניתן למיין את נקודות אי הרציפות לשלושה סוגים:

  1. אי רציפות סליקה: יש לפונקציה גבול בנקודה אך ערך הפונקציה שם שונה מן הגבול, או שהפונקציה כלל אינה מוגדרת באותה נקודה.
  2. אי רציפות מהסוג הראשון: אין בנקודה גבול, אך קיימים גבולות חלקיים. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד, קיים הגבול מימין, וקיים הגבול משמאל, אך הם שונים זה מזה.
  3. אי רציפות מהסוג השני: לפחות אחד מהגבולות, משמאל או מימין, אינו קיים.

אפיון קבוצת נקודות הרציפות של פונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם f:\mathbb X\to\mathbb Y פונקציה, כאשר \ X, Y מרחבים מטריים, אזי קבוצת נקודות הרציפות של \ f היא קבוצת \ G_\delta, דהיינו חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות. ממשפט הקטגוריה של בייר ניתן להראות שקבוצת המספרים הרציונליים אינה קבוצת \ G_\delta, ולכן אין פונקציה ממשית שרציפה רק במספרים הרציונליים, ואינה רציפה במספרים האי-רציונליים.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]