פורטל:מתמטיקה/הידעת?/53

גאורג קנטור

לאופולד קרונקר

המתמטיקאי לאופולד קרונקר היה פיניטיסט מושבע. הוא האמין שיש להימנע מבניות מתמטיות שמערבות את האינסוף, ועל אחת כמה וכמה אינסוף לא בן-מנייה. כך גם התנגד נחרצות לתורת הקבוצות שאותה פיתח המתמטיקאי גאורג קנטור, בן זמנו של קרונקר.

במסגרת אידאולוגיה זאת טבע את האמרה:

אלוהים יצר את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה האדם

כיום נהוג להשתמש בציטוט כדי לציין שבניות רבות במתמטיקה מתבססות על מושג המספרים הטבעיים (לרבות מושגים אינסופיים בעליל כמו המספרים הממשיים). פרפרזה מודרנית על הציטוט הזה המשויכת לאסכולת בורבקי אומרת:

אלוהים יצר את הקבוצה הריקה, כל היתר הוא מעשה האדם

גרסה זאת מתקשרת לכך שמנקודת המבט של תורת הקבוצות האקסיומטית כל איבר בקבוצה צריך להיות קבוצה בפני עצמו. מכאן שרק הקבוצה הריקה לא מתבססת על קבוצות אחרות. למשל, מנקודת מבט זאת, נהוג לתאר את קבוצת המספרים הטבעים כך:

${\begin{aligned}\{0&=\emptyset ,\\1&=\{\emptyset \},\\2&=\left\{\emptyset ,\{\emptyset \}\right\},\\3&=\left\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\right\},\\4&=\left\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\right\},\\&\dots &\\n&=\{0,\dots ,n-1\}\\&\dots \}&\end{aligned}}$

תורת הקבוצות האקסיומטית היא הפיתוח המודרני של תורתו של קנטור, בה קרונקר נלחם בלהט.