פורטל:מתמטיקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

Gnome-colors-view-refresh.svg רענון הפורטל Netvibes.svg כיצד אוכל לעזור?    

P mathematics.svg

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא


משחק מגדלי האנוי עשוי עץ לבוד

מגדלי האנויאנגלית: Towers of Hanoi) הוא משחק חידה מתמטי, שמקורו בסוף המאה ה-19. המשחק הוא אמצעי הדגמה פופולרי לעקרון הרקורסיה ולמושגים בסיסיים אחרים בקומבינטוריקה ובמדעי המחשב.

המשחק כולל שלושה מוטות אנכיים ("המגדלים") ומספר דיסקיות בגדלים שונים שניתן להשחיל על המוטות. בתחילת המשחק, הדיסקיות מסודרות על פי הגודל על אחד המוטות, כשהגדולה ביותר למטה והקטנה ביותר למעלה.

מטרת המשחק היא להעביר את כל הדיסקיות למוט אחר, תחת שני החוקים הללו:

  • מותר להזיז רק דיסקית אחת בכל פעם - כלומר להוציאה מהמוט שבו היא נמצאת, ולהשחיל אותה על מוט אחר.
  • אסור לשים דיסקית על דיסקית שקטנה ממנה.

כאשר מקודדים כללים אלה בצורה גרפית, מתקבלת גרסה סופית של משולש סיירפינסקי.


NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg


Rtriangle-mathsinegypt.svg

שלשת המספרים \left\{3,4,5  \right\} היא לא רק השלשה הפיתגורית שאיבריה הקטנים ביותר במספרים טבעיים, כי אם גם היחידה שאיבריה עוקבים. במספרים שלמים, השלשה הנוספת שאיבריה עוקבים הנה \left\{(-1),0,1\right\}. ניתן לוודא טענה זו על ידי פתירת המשוואה \ x^2+(x+1)^2=(x+2)^2.


Benq joybook transparent.png

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

אתר היום: CryptoKids (באנגלית)

ה-CIA הוא אחד מהשירותים החשאיים הידועים ביותר בעולם, אך יש שירות חשאי גדול ממנו, NSA, שהוא ארגון המודיעין הגדול בעולם. באופן מפתיע, גאוות הארגון אינה סוכנים מסוגו של ג'יימס בונד, אלא מתמטיקאים העוסקים בפענוח המסרים המוצפנים שאוסף הארגון ברחבי תבל. NSA הוא המעסיק הגדול ביותר של מתמטיקאים בעולם, וכדרך ליצירת מאגר של עובדים עתידיים הוא מציג אתר זה ובו חידות מתמטיות לילדים. לפני שאתם ממהרים לפתור את החידות שמופיעות שם, ענו בבקשה על חידה מקדימה: האם פתרון של חידה באתר של NSA מהווה יצירת מגע עם סוכן זר, עבירה שעונשה מאסר ממושך?


ג'ון פון נוימן בשנות ה-40 של המאה ה-20

ג'ון לואיס פון נוימן (28 בדצמבר 1903 - 8 בפברואר 1957), מתמטיקאי אמריקאי ממוצא יהודי-הונגרי. היה שותף לשניים מההישגים הטכנולוגיים הבולטים של המאה העשרים: פיתוח פצצת אטום ופיתוח המחשב האלקטרוני, אך זכור בעיקר כיוצרה של תורת המשחקים. כמו כן הרים תרומה משמעותית לחקר מכניקת הקוונטים, תורת הקבוצות (תחום שהפגיש אותו עם אברהם הלוי פרנקל) וענפי מתמטיקה נוספים. שילב בהצלחה רבה פעילות במחקר טהור ובמחקר שימושי, בענפי מדע רבים.

פון נוימן נולד בבודפשט למשפחה יהודית מתבוללת. אביו, מקס נוימן, היה בנקאי יהודי אמיד. עד גיל 10 למד בבית בהדרכת מורים פרטיים כמנהג עשירי אירופה. סימנים של גאונות ניכרו בו כבר בילדותו. יוג'ין ויגנר, חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 1963, שלמד יחד עם פון נוימן בבית הספר התיכון, אמר עליו מאוחר יותר: "יש שני סוגי אנשים בעולם: ג'וני פון נוימן ואנחנו, השאר". המורה למתמטיקה בגימנסיה זיהה מיד את כושרו המתמטי יוצא הדופן והמליץ להוריו לשכור לו מורה פרטי למתמטיקה. ההורים שכרו את מיכאל פקטה שהיה מרצה באוניברסיטת בודפשט והוא לימד אותו מתמטיקה גבוהה.


Article MediumPurple.svg


Cquote2.svg

המתמטיקה היא האלפבית שבו כתב אלוהים את העולם.

Cquote3.svg
רוברט בויל
Cquote2.svg

הפילוסופיה - הרי היא כתובה בספר הגדול הפרוש מאז ומעולם לנגד עינינו - כוונתי ליקום - אך איננו יכולים להבין אם איננו לומדים את השפה ותופסים את הסמלים שבהם היא כתובה. שפה זו היא המתמטיקה.

Cquote3.svg
גלילאו גליליי


בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

ספר היום:

Arbel - short history.jpg

בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2005

הספר סוקר את התפתחותה של המתמטיקה מראשיתה ועד ימינו, תוך שימת דגש על המתמטיקה שנוצרה ועל התפתחותה. לפיכך כולל הספר שפע הוכחות (או לפחות תיאור של עקרונות ההוכחה). "נושאים מסוימים שנדונו בספר קיצור תולדות המתמטיקה אינם קלים ודורשים התעמקות יתר", ציין המחבר, בנו ארבל, שעסק בהוראת המתמטיקה במכללת בית ברל, בסמינר הקיבוצים ובאוניברסיטת תל אביב.

1,000 נורות כבויות עומדות בשורה וממוספרות בכל המספרים הטבעיים מ-1 עד 1,000, לכל נורה מתג. אם לוחצים על המתג כשהנורה כבויה, היא תידלק, אם לוחצים על המתג כשהנורה דולקת, היא תכבה. באים 1,000 גמדים, ממוספרים אף הם מ-1 עד 1,000. תחילה עובר גמד מס' 1 ולוחץ על המתג לכל הנורות שמספרן מתחלק ב-1. שני עובר גמד מס' 2 ולוחץ על המתג בכל הנורות שמספרן מתחלק ב-2. כך עוברים כל הגמדים לפי סדר כך שהגמד ה-n לוחץ על המתגים של כל הנורות שמספרן מתחלק ב-n. לאחר שהגמד ה-1,000 מסיים את עבודתו, אילו נורות תהיינה דלוקות ולמה?

[הצגה]
פתרון

מכיוון שהמצב התחילי של הנורות הוא כבוי, הרי שכדי שנורה תדלוק בסוף התהליך צריכים ללחוץ עליה מספר אי-זוגי של פעמים. כל גמד לוחץ על נורה אם מספרה מתחלק במספר של הגמד, ולכן נורה שנלחצה מספר אי-זוגי של פעמים מתחלקת במספר אי-זוגי של מספרים.
לאילו מספרים יש מספר אי-זוגי של מחלקים? פעולת הכפל היא פעולה בינארית, כלומר פעולה בין שני מספרים, מה שאומר שאם מספר טבעי מסוים n מתחלק במספר טבעי אחר-a הרי שn מתחלק גם ב-n/a. מכאן יוצא, לכאורה, שלכל מספר יש מספר זוגי של מחלקים, אולם ישנם מספרים יוצאי דופן, המספרים האלה הם המספרים הריבועיים. לכל מספר ריבועי n קיים מספר טבעי a בעבורו מתקיים השוויון: a^2=n. למספרים הריבועיים יש תמיד מספר אי-זוגי של מחלקים, משום שיש להם מחלק אחד שלא גורר קיומו של מחלק שכנגד.
לדוגמה: המספר 7 מחלק את המספר 28, ולכן 28 חייב גם להתחלק ב-4, כי 28/7=4. לעומת זאת, המספר 7 מחלק את המספר 49, אבל מכיוון ש: 49/7=7 יש ל-49 מספר אי-זוגי של מחלקים.


לחידות נוספות, לחידות קשות יותר


משפטים מפורסמים

המשפט האחרון של פרמהמשפט פיתגורסמשפטי האי-שלמות של גדלהמשפט היסודי של האריתמטיקה
מיון החבורות הפשוטותמשפט ארבעת הריבועים של לגראנז'משפט המינימקסמשפט השאריות הסיני
לרשימת המשפטים

השערות מפורסמות

השערת גולדבךהשערת רימןהשערת פואנקרההשערת הראשוניים התאומיםמשפט ארבעת הצבעיםP=NP
לרשימת הבעיות הפתוחות במתמטיקה

מבט אל הלוח – משפט או השערה מפורסמים

אי שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרה סופית של מספרים. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את אי-השוויון גילה והוכיח אוגוסטין קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

באותו שם נקרא גם אי שוויון בין הממוצע ההנדסי לממוצע ההרמוני; יחדיו, טוענים שני אי-השוויונות שלכל קבוצה \ a_1,\dots,a_n של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים \ \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}} \leq (a_1 \cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{a_1+\dots+a_n}{n}, כלומר הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי, והממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני. בשני המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים \ a_1,a_2,\dots,a_n שווים זה לזה.

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

נושאים במתמטיקה
כמות אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים
שינוי אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית
מבנה אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים
מרחב אלגברה לינארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג
מתמטיקה בדידה חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים
יסודות ושיטות לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות
מתמטיקה יישומית אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית
עולם המתמטיקה הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט


תורת הכאוס הוא ענף במתמטיקה ובפיזיקה המתאר התנהגות של מערכות דינמיות שמגלות רגישות גבוהה לשינויים קטנים בתנאי התחלה. המושג כאוס במתמטיקה נטבע על ידי המתמטיקאי ג'יימס א. יורק. בניגוד למה שהשם מרמז, התנהגות כאוטית אינה התנהגות בה יש אי סדר מוחלט. התנהגות כאוטית היא חסומה, כלומר מוגבלת לאירועים מסוימים, והמערכת שואפת למושך - אוסף יציב של מצבים.

החידוש הגדול בתורת הכאוס היה שהיא הראתה שגם במערכות פשוטות ודטרמיניסטיות יש מצבים בהן התנהגותן לא ניתנת לחיזוי באופן אפקטיבי, כי לשם כך יש צורך בידיעת התנאים ההתחלתיים בדיוק אינסופי. תופעה זו מכונה בלשון ציורית "אפקט הפרפר". דוגמאות למערכות כאלה הן האטמוספירה ומערכות כלכליות מסוימות.

זמינותם של מחשבים זולים וחזקים יותר מאפשרת יישום רחב יותר של תאוריית הכאוס וכיום תורת הכאוס היא תחום מחקר פעיל ביותר.

לערך המלא

לרשימת כל הערכים בתחום

מבט על תחומים נוספים


משפטים מתמטיים חשובים ושימושיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים


P computing.svg
P At sign.png
P physics-2.png
P chemistry.svg
P Economy.png
P Computer-science.png
מחשבים אינטרנט פיזיקה כימיה כלכלה מדעי המחשב


ערכים המחפשים עורכים

Exquisite-kwrite.png

דיונים, ייעוץ ועזרה


מהו פורטל? - רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים