פורטל:מתמטיקה/חידה/127

גומייה באורך רפוי $l_{0}=1m$ מחוברת בקצה אחד שלה לקיר אנכי. ברגע $t=0$ הגומייה מתחילה להימתח, כך שמהירות הקצה החופשי היא $V=6m/s$ . על הקצה הקשור של הגומייה עומדת נמלה. ברגע $t=0$ הנמלה מתחילה ללכת על הגומייה במהירות $U=2m/s$ . השאלה היא, האם הנמלה תגיע אי פעם לקצה הגומייה?

פתרון

התשובה לשאלה היא כן, ונוכיח זאת. הרעיון המרכזי של ההוכחה הוא לשאול בכל פעם מה החלק היחסי של הגומייה אליו הנמלה חייבת להגיע על מנת להגיע לקצה הגומייה, וכך לחלק את הדרך שעוברת הנמלה על הגומייה לשלבים. ברור שהקצה החופשי של הגומייה נע במהירות קבועה, בעוד הנמלה מאיצה כל הזמן. השאלה היא בעצם האם המהירות הכוללת של הנמלה (עקב תנועת הגומייה שמתחת לנמלה ותנועת הנמלה על הגומייה) תתכנס לערך שקטן ממהירות הקצה החופשי או שתחצה אותה.

שאלה 1: לאיזה חלק יחסי $\lambda _{1}=X/l$ של הגומייה (כאשר X הוא מיקום הנמלה ו-l מיקום הקצה החופשי של הגומייה) הנמלה חייבת להגיע כדי שתוכל להגיע בוודאות לקצה הגומייה?

תשובה 1: ברור שהמהירות הכוללת של הנמלה בנקודה זו צריכה להשתוות למהירות הקצה החופשי. מהירות הגומייה בנקודה זו היא $V\lambda _{1}$ ולכן צריך להתקיים: $V\lambda _{1}+U=V$ , מכאן מקבלים $\lambda _{1}=2/3$ .

שאלה 2: מכיוון שהשליש האחרון של הגומייה לא רלוונטי (אם הנמלה מגיעה אליו אז היא תגיע לקצה הגומייה) נפסיק להסתכל אליו לרגע. לאיזה חלק יחסי $\lambda _{2}$ של הגומייה הנמלה חייבת להגיע כדי שתוכל להגיע לשני שלישים של הגומייה?

תשובה 2: מהירות הנקודה שמחלקת את הגומייה לשני שלישים היא 4m/s, ולכן הנמלה חייבת להגיע ל-1/3 הגומייה כדי שתוכל להגיע ל-2/3 הגומייה.

שאלה 3: האם הנמלה תוכל להגיע לשליש הגומייה?

תשובה 3: הנמלה כבר מתחילה את הדרך שלה עם מהירות שווה לזו של נקודה זו, ולכן כעבור שבריר שנייה היא נעשית מהירה יותר מנקודה זו ולכן תשיג אותה. לפיכך הנמלה תגיע לקצה הגומייה.

מ.ש.ל

הערה: פתרון של השאלה במקרה הכללי ביותר מתקבל על ידי אינטגרציה של תנועת הנמלה, ומראה שמהירות הנמלה לפי הזמן היא לוגריתמית, ולכן תחצה כל ערך קבוע שהוא.

דרך אחרת לפתרון: הנמלה עוברת בכל שנייה חלק נוסף כלשהו מאורך הגומיה. בשנייה הראשונה היא עוברת 2/7, כלומר יותר מ-1/4. בשנייה השנייה 2/13 נוספים, כלומר יותר מ-1/8. בשנייה ה-n-ית היא עוברת $2/(6n+1)$ , כלומר יותר 1/4n נוספים. כלומר סה"כ ב-n שניות היא עוברת יותר מאשר $1/4[1+1/2+1/3+1/4+...+1/n]$ מאורך הגומיה, עד לאורך המלא. בתוך הסוגריים המרובעים רשום הטור ההרמוני, וידוע שהוא מתבדר, ולכן ערכו עבור N מסוים, גדול מארבע, והנמלה תגיע לסוף הגומיה. כאן קל גם לראות את המקרה הכללי: למשל, אם הנמלה תתקדם סנטימטר אחד בשנייה, אחרי n שניות היא תתקדם יותר מאשר $1/800[1+1/2+1/3+1/4+...+1/n]$ ושוב, קיים N שעבורו ערכו של הטור ההרמוני גדול משמונה מאות, והנמלה תגיע לסוף הגומיה.