פרדוקס המוט והאסם

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פרדוקס המוט והאסםאנגלית: Ladder Paradox) הוא ניסוי מחשבה המדגים כמה מן התוצאים של תורת היחסות הפרטית. הניסוי נעזר בחלק מן המסקנות של התורה כדי להביא לתוצאה שהיא לכאורה פרדוקסלית, אך מיושב שוב במסגרת התורה באופן שממחיש את השלמות של התורה והתחזיות שלה. הניסוי נוגע למוט, מקביל לקרקע, ולאסם שדלתותיו נסגרות ונפתחות פעם בכמה זמן. המוט נע אופקית ולפיכך עובר התכווצות אורך. כתוצאה, המוט מתאים בגודלו להיכנס לתוך האסם, שבמצב מנוחה יחסית היה קטן מדי בשביל להכיל אותו. מצד שני, מנקודת המבט של צופה הנמצא על המוט, זהו האסם שנע, כך שזהו האסם שיתכווץ לגודל קטן אף יותר, ולכן לא יהיה מסוגל להכיל את המוט.

הפרדוקס לכאורה נובע מההנחה המובלעת המוטעית של סימולטניות מוחלטת. בתורת היחסות, הסימולטניות היא יחסית לצופה, כך שבעוד בעבור מערכת ייחוס אחת שני מאורעות מתרחשים סימולטנית, במערכת הייחוס שנעה ביחס אליה מאורעות אלו מתרחשים בזמן שונה. במקרה של פרדוקס המוט והאסם, אם במערכת המעבדה דלתות האסם נסגרות סימולטנית, במערכת הייחוס של המוט יש הפרש זמנים קל ברגעי הסגירה והפתיחה של שתי הדלתות, כך שקיים משך זמן מסוים ששתי הדלתות פתוחות בעוד המוט ממלא את האסם, וכך הפרדוקס נפתר, וחישוב יחסותי אכן מאשש שהדבר נכון.

תיאור הפרדוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגרסה הפשוטה ביותר של הבעיה נוגעת לאסם, עם דלת קדמית ודלת אחורית אשר פתוחות, ומוט אשר, כשהוא במנוחה יחסית לאסם, הוא ארוך מכדי להיכנס לתוכו. כעת אנו מזיזים את המוט במהירות אופקית גבוהה דרך האסם הנייח. בגלל המהירות הגבוהה שלו, המוט עובר את האפקט היחסותי של התכווצות האורך, ונהיה משמעותית קצר יותר. כתוצאה, כשהמוט עובר דרך האסם, הוא, למשך זמן קצר, מוכל כולו בתוך האסם. יכולנו, אם רצינו, לסגור סימולטנית את שתי הדלתות למשך זמן קצר, כדי להדגים שהמוט נמצא כולו בתוך האסם.

עד פה, התיאור עקבי. הפרדוקס לכאורה מופיע כאשר מתחשבים בסימטריה של המצב. כיוון שצופה שנע עם המוט נע במהירות קבועה במערכת הייחוס האינרציאלית של האסם, צופה זה גם נמצא במערכת ייחוס אינרציאלית, ולכן, לפי עקרון היחסיות, אותם חוקי הפיזיקה תקפים עבורו. מנקודת המבט הזאת, המוט הוא שכעת נייח, והאסם הוא שנע במהירות גבוהה. לכן זהו האסם שעובר התכווצות אורך, וניתן להסיק שהוא קטן בהרבה ממה שדרוש כדי להכיל במלואו את המוט כאשר הוא (האסם) חולף על פניו: המוט לא מתאים בגודלו, ולכן איננו יכולים לסגור את שתי הדלתות מבלי לשבור אותו. האם המוט נשבר או לא?, הסתירה לכאורה הזאת היא הפרדוקס.

איור 1: המוט והאסם במצב מנוחה.
איור 2: במערכת הייחוס של האסם, המוט עובר התכווצות אורך, ולפיכך מתאים בגודלו להיכנס לתוך האסם.
איור 3: במערכת הייחוס של המוט, האסם עובר התכווצות אורך ולפיכך הוא קטן מדי להכיל את המוט.

פתרון הפרדוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור 4: התרחיש במערכת הייחוס של האסם, מוט מכווץ עובר דרך האסם.
איור 5: התרחיש במערכת הייחוס של המוט, אסם מכווץ חולף על פני המוט. באיור ניתן לראות את הפרש בזמני הסגירה של הדלתות.

ניתוח מתמטי של הפרדוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להמחיש כיצד הפרדוקס נפתר באופן מלא, ניקח מקרי פרטי בו אורכו המקוצר של המוט (שנצפה כאשר הוא נע) שווה בדיוק לאורכו של האסם. נסמן את אורך המנוחה של המוט ב-L_1 ואת אורך המנוחה של האסם ב-L_2. מתקיים : L_2 = \frac {{L_1}} {{\gamma}} = L_1*\sqrt{{1 - \beta^2}} כאשר \beta = v/c, כך שהמוט מתאים באורכו בדיוק לאסם. ממערכת הייחוס של המוט, אורך האסם הוא L_2' = \frac {{L_1}} {{\gamma^2}}. הסימולטניות של מאורעות הסגירה של הדלת הקדמית והאחורית (שנקרא להם מאורעות A ו-B) במערכת הייחוס של האסם לא נשמרת במעבר למערכת הייחוס של המוט, והאינטרוול דמוי המרחב בין המאורעות A ו-B מומר בחלקו לאינטרוול דמוי זמן (עקרון שמירות האינטרוול) במערכת הייחוס של המוט.

מטרנספורמציות לורנץ נקבל שהפרש הזמנים t_{{A'}} - t_{{B'}} של המאורעות A' ו-B' (שהינם מאורעות A ו-B כפי שנצפים במערכת הייחוס של המוט) הוא L_2\frac {{v\gamma}} {{c^2}} = L_1\frac {{v}} {{c^2}}. לעומת זאת הפרש הזמנים בין הרגע שבו חזית המוט פוגשת את הדלת האחורית לרגע שזנב במוט פוגש את הדלת הקדמית הוא : T = \frac {{L_1 - L_2'}}{{v}} = \frac {{L_1(1 - 1/\gamma^2)}}{{v}} = L_1\frac {{v}} {{c^2}} , כלומר T = t_{{A'}} - t_{{B'}}, ובמילים אחרות במקרה פרטי זה זמני הסגירה של הדלתות מתוזמנים באופן מושלם עם זמני ההגעה של חזית המוט.

במקרה הכללי יותר בו אורכו המקוצר של המוט קטן מאורך האסם, השוויונות שתוארו מתורגמים לאי שוויונות שמראים באופן דומה כי המוט לא נשבר בשתי מערכות הייחוס.

ניתוח גרפי של הפרדוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

אירועים A,B ו-C מתרחשים בסדר שונה בתלות בתנועה של הצופה. הקו הלבן מייצג מישור סימולטניות הנע מהעבר לעתיד.

את יחסיות הסימולטניות ניתן להבין גם כאילו ישרים המייצגים מאורעות סימולטניים במערכת ייחוס אחת (ישרים מקבילים לציר המקום) מיוצגים על ידי ישרים נטויים במערכת ייחוס אחרת, כמוראה בהמחשה משמאל. בפרט, אפילו הסדר של מאורעות עשוי להשתנות במעבר בין מערכת ייחוס אחת לאחרת.

הסיטואציה המוצגת בפרדוקס ניתנת להמחשה בדיאגרמת מינקובסקי המופיעה באיור למטה. הדיאגרמה היא במערכת הייחוס של האסם. הפס הכחול האנכי מראה את האזור האסם תופס במרחב-זמן, והפס האדום בצורת מקבילית מראה את האזור שהמוט תופס במרחב זמן. צירי ה-x ו-t הם צירי המרחב והזמן של האסם, בהתאמה, בעוד צירי ה-'x ו- 't מייצגים את צירי המרחב והזמן של המוט, בהתאמה. ראוי להבהיר שציר ה-t' אינו באמת מתלכד עם אחת מצלעות המקבילית, אף על פי שזה נראה כך באיור, ובנוסף האיור לא מתייחס למקרה המעניין ביותר בו אורכו המקוצר של המוט שווה בדיוק לאורך האסם.

הקו האדום המודגש מקביל לציר ה-x', ומייצג את אוסף כל הנקודות (אירועים) במרחב-זמן של האסם שמתרחשות סימולטנית במערכת הייחוס של המוט. כיוון שהקו האדום מוכל כולו בתוך המקבילית האדומה, הוא מייצג אירועים של חפיפה מרחב- זמנית של חלקי המוט במערכת הייחוס של האסם, ולכן אם "מקבצים" את כל חלקי המוט שנצפו במיקומים ובזמנים שונים, מקבלים למעשה את המוט כפי שהוא נראה במערכת הייחוס של המוט, ואורך הקו האדום המודגש הוא למעשה אורך המנוחה של המוט (כלומר L_1).


דיאגרמת מינקובסקי של פרדוקס המוט והאסם. האסם מוראה בכחול, המוט באדום. הדיאגרמה היא במערכת המנוחה של האסם, כאשר צירי המרחב והזמן של האסם הם צירי x ו-t, וצירי המרחב והזמן של המוט הם צירי x' ו-t'. הקו האדום המודגש מקביל לציר ה-x', ומייצג את אוסף כל הנקודות (אירועים) במרחב-זמן של האסם שמתרחשות סימולטנית במערכת הייחוס של המוט.