טרנספורמציות לורנץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

טרנספורמציות לורנץ הן טרנספורמציות לינאריות בין מערכות ייחוס המראות כיצד משתנים הזמן והמרחב כאשר עוברים ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס אינרציאלית הנעה יחסית אליה במהירות קבועה בקו ישר. את טרנספורמציית לורנץ אפשר להסיק מעקרונות היסוד (הפוסטולטים) של תורת היחסות הפרטית, ואכן – טרנספורמציות לורנץ הן כלי מרכזי בביצוע חישובים במסגרת תורה זו.

טרנספורמציית לורנץ פותחה עוד במאה ה-19 בנפרד מתורת היחסות הפרטית על ידי הפיזיקאי ההולנדי הנדריק לורנץ כדי לפתור סתירות שנתגלו בין האלקטרומגנטיות למכניקה הקלאסית. אחת הבעיות הייתה כוח לורנץ המגנטי.

מבוא ודוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שמערכת ייחוס (צירים + שעון) S נמצאת במנוחה ברגע t=0 בראשית x=y=z=0. נניח שמערכת 'S שנמצאת באותו מקום נעה ביחס אליה במהירות v (קבועה) בכיוון x.

במכניקה הקלאסית, כדי לחשב כיצד משתנות המדידות של מקום וזמן במערכת 'S לעומת מדידות אלה במערכת S משתמשים בטרנספורמציית גליליי:

\ t' = t
\ x' = x-vt
\ y' = y \ , \ z' = z

ברם, כאשר v היא מהירות שאינה זניחה יחסית למהירות האור מסתבר שטרנספורמציית גליליי, המתארת כיצד לתרגם מקום וזמן בין שתי המערכות, איננה נותנת תוצאות מדויקות. הטרנספורמציה המתאימה לתרגום ניתנת במסגרת תורת היחסות הפרטית ובניגוד לטרנספורמציית גליליי היא מערבבת בין המרחב והזמן. לטרנספורמציה זו קוראים טרנספורמציית לורנץ או טרנספורמציית לורנץ boost (כאשר boost מרמז כי היא קשורה למהירות) והיא נראית כך:

t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)
\ x' = \gamma (x - v t)
\ y' = y
\ z' = z

כאשר

\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

הוא פקטור לורנץ ו-c היא מהירות האור בריק.

אם מסמנים \ \beta = v/c ועובדים ביחידות שבהן x = t ו- 1 = c וכן מתעלמים מצירי y ו-z שלא משתנים, מקבלים נוסחה פשוטה לזיכרון של הטרנספורמציה:

 \begin{pmatrix} t \\ x \end{pmatrix} =
\begin{bmatrix} \gamma & \gamma \beta\\ \gamma \beta & \gamma\\
\end{bmatrix} \ \begin{pmatrix} t' \\ x' \end{pmatrix}

כאשר הכפל כאן הוא כפל מטריצות רגיל.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב מינקובסקי והמטריקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגדיר את המטריצה של מרחב מינקובסקי שטוח:

g= \eta =
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{bmatrix}

בכתיב טנזורי, רושמים את g כ g_{\mu \nu}. במרחב מינקובסקי הזמן איננו סקלר אלא חלק מ 4-וקטור:

\ x^\mu = \left( ct , \vec{r} \right) = \left( ct, r^i \right)

נשים לב ש \ x^\mu g_{\mu \nu} x^\nu = (ct)^2 - (\vec{r})^2 (כאשר אינדקס מופיע פעם למעלה ופעם למטה, הסכם הסכימה של איינשטיין, קובע שמסכמים על הערכים האפשריים 0,1,2,3) שים לב שזהו לא שוויון מטריציוני ולא מתבצע כפל מטריצות אלא זה שוויון של סכום של אברים. וזהו בעצם חוק שמירות האינטרוול ואינווריאנטיות הזמן העצמי.

חבורת לורנץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורת לורנץ היא החבורה האורתוגונלית של התבנית \ q(t,x,y,z)=t^2-x^2-y^2-z^2, כלומר, אוסף המטריצות \Lambda ההפיכות מסדר 4 על 4, המקיימות \ \Lambda^T g \Lambda = g, כאשר \ \Lambda^T מסמן את המטריצה המשוחלפת. אלו הן בדיוק הטרנספורמציות הלינאריות של המרחב-זמן השומרות על המטריקה של מינקובסקי.

סיווג טרנספורמציות לורנץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

סיבובים מרחביים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל טרנספורמציה מהצורה:

\ t' = t \ \ \ , \ \ \vec{r'} = U\vec{r}

כאשר U היא מטריצת סיבוב אורותוגונלית (כלומר: U^{-1}=U^T) היא טרנספורמציית לורנץ. למעשה, זוהי טרנספורמציית סיבוב מרחבית. המשמעות של זה היא שכל חוקי הפיזיקה ישארו אינווריאנטים גם אם נסובב את מערכת הצירים סביב הראשית, כלומר: לטבע אין כיוון מועדף (איזוטרופיה).

boost[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוהי טרנספורמציה המעבירה ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס הנעה ביחס אליה במהירות קבועה.

בלי הגבלת הכלליות, נניח שמערכת ייחוס 'S נעה במהירות יחסית v בכיוון x למערכת ייחוס S. אזי כלל התרגום בין 4-וקטור האירוע ב S \ x^\mu = (ct,x,y,z) לבין וקטור האירוע ב 'S \ x'^\mu = (ct',x',y',z') הוא

t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)
\ x' = \gamma (x - v t)
\ y' = y
\ z' = z

כאשר

\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

הוא פקטור לורנץ ו-c היא מהירות האור בריק.

את 4 משוואות הטרנספורמציה אפשר לייצג באמצעות מטריצה:


\begin{bmatrix}
t' \\x' \\y' \\z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\frac{v}{c^2} \gamma&0&0\\
-v \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t\\x\\y\\z
\end{bmatrix}

או באופן שקול כ


\begin{bmatrix}
c t' \\x' \\y' \\z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\
-\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t\\x\\y\\z
\end{bmatrix}

כאשר מערכת 'S נעה ביחס ל S בכיוון כלשהו, טרנספורמציית לורנץ הכללית תינתן על ידי הרכבה של 2 סיבובים ו-boost. נסובב את שתי המערכות כך שציר x שלהן יהיה באותו כיוון ומקביל לכיוון המהירות היחסית ביניהן, נבצע את ה-boost ואז נסובב בחזרה לקואורדינטות המקוריות. הביטוי הכללי מכוער למדי ואין טעם לרשמו.

חיבור מהירויות יחסותי[עריכת קוד מקור | עריכה]

כמו כן, מטרנספורמציית לורנץ ה-boost אפשר להסיק כלל של חיבור מהירויות באותו כיוון (על ידי הרכבה של boost על boost) ולקבל ש

 \ v_{1+2} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{ v_1 v_2}{c^2}}

שדות אלקטרומגנטיים תחת טרנספורמציית לורנץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוהי טרנספורמציה המעבירה את השדה החשמלי ואת השדה המגנטי ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס הנעה ביחס אליה במהירות קבועה, \vec{v} :

\vec{E}' = \gamma \left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \vec{E} \cdot \vec{v} ) \vec{v}
\vec{B}' = \gamma \left( \vec{B} - \frac {\vec{v} \times \vec{E}}{c^2} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \vec{B} \cdot \vec{v} ) \vec{v}
\ \vec{E'} הוא השדה החשמלי במערכת הנעה.
\ \vec{E} הוא השדה החשמלי במערכת הייחוס.
\ \vec{B'} הוא השדה המגנטי במערכת הנעה.
\ \vec{B} הוא השדה המגנטי במערכת הייחוס.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]