פרדוקס הערימה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
גרגרי חול

פרדוקס הערימה הוא פרדוקס של עמימות - כלומר, פרדוקס העוסק במתח שבין תיאורים מילוליים מעורפלים לבין ביטויים מתמטיים מדויקים. השאלה שניצבת במרכזו של פרדוקס זה היא "כמה גרגרים צריכים להיות בערימה כדי שתיחשב ערימה". ישנה הסכמה כללית שגרגר חול אחד אינו נחשב ערימה, וכך גם שניים. גם שלושה וארבעה גרגרים אינם נחשבים לרוב כערימה. אם כך, מהי כמות הגרגרים המינימלית בערימה?

נתאר את הפרדוקס מבחינה פורמלית.

נוכל להניח שלוש הנחות הגיוניות אלה:

  1. שלושה גרגרי חול אינם יוצרים ערימה.
  2. מיליון גרגרי חול יוצרים ערימה.
  3. אם מסירים מהערימה גרגר חול אחד, היא נותרת ערימה.

באמצעות אינדוקציה מתמטית, כשנצליח להוכיח כי שלושה גרגרי חול יוצרים ערימה, תיווצר סתירה בהנחות היסוד. להלן דרך ההוכחה: הנחת האינדוקציה - מיליון גרגרי חול יוצרים ערימה. צעד האינדוקציה - אם n גרגרי חול יוצרים ערימה, גם n-1 גרגרי חול יוצרים ערימה. מכאן נובע שלכל n טבעי, n-1 גרגרי חול הם ערימה. כאשר נגיע באמצעות האינדוקציה ל-3 גרגרים, הדבר יסתור את הנחתנו הראשונה.

סתירה זו אינה מהווה פגם בתפיסת המציאות שלנו. הפרדוקס מדגים את העמימות המובנית של השפה האנושית. המונח "ערימה" אינו מבוסס על הגדרה החלטית ומדויקת, כי אם על מושג שתפיסתו היא מעורפלת וגמישה. אין כלל מקום להפעיל על "ההגדרה" דרכי פעולה מתמטיות מהסוג שהודגם כאן, שהרי לו הייתה הגדרה מדויקת למילה "ערימה", ההנחה השלישית לא הייתה נכונה, שהרי היה מספר מסוים של גרגרים היוצר הערימה. כל גרגיר חול אחד שיופחת יאיין את הגדרת הערימה.

ניתן אף לטעון שההגדרה שלנו לערימה לא מתבססת על כמות הגרגרים בערימה, אלא על סידורם של הגרגרים (רוב האנשים ידמיינו צורת חרוט). אפילו מיליון גרגרים יכולים להיות מסודרים בצורה כזו שהם לא יוגדרו ערימה (אם מפזרים אותם על פני משטח גדול). לכן ההנחה שמיליון גרגרי חול הם תמיד ערימה אינה מובנית מאליה כפי שהיא נדמית במבט ראשון.

אם נחליף את המונח "ערימה" במונח "הרבה", ונאמר כי "מיליון גרגרי חול הם הרבה", "שלושה גרגרי חול אינם הרבה", ו"אם נחסיר גרגר אחד מהרבה גרגרי חול, עדיין יוותרו הרבה", הפרדוקס עדיין יתקיים. שלוש האמירות, שנראות, כל אחת בנפרד, כהגיונית וסבירה, אינן מתיישבות זו עם זו כלל, ויוצרות פרדוקס. אלא, שהשימוש במונח "הרבה" במקום במונח "ערימה", מדגים באופן ברור יותר שיש מונחים בשפה האנושית אשר אין, ולא יכול להיות להם ייצוג בדמות הגדרה מתימטית מדויקת.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]