צירוף אפיני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, צירוף אפיני של וקטורים x1, ..., xn הוא צירוף לינארי

 \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot x_{i}} = \alpha_{1} x_{1} + \alpha_{2} x_{2} + \cdots +\alpha_{n} x_{n}

שבו סכום המקדמים הוא 1, כלומר:

\sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i}}=1 .

הווקטורים משוכנים במרחב וקטורי V מעל שדה K; והמקדמים \alpha _{i} הם סקלרים ב-K.

מושג זה חשוב בגאומטריה אוקלידית.

בהינתן העתקה אפינית, כל צירוף אפיני של נקודות שבת של ההעתקה גם הוא נקודת שבת של ההעתקה, לכן נקודות השבת יוצרות מרחב אפיני (בתלת-ממד: קו, מישור והמקרה הטריוויאלי של נקודה והמישור כולו).

מוטיבציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שיש אי ודאות בנקודת הראשית במרחב מסוים ואנו חושבים שזאת נקודה p (אך למעשה זו נקודה אחרת). נניח שרוצים לחבר שתי נקודות: a ו-b. נמתח קו מנקודה p לנקודה a, קו נוסף מנקודה p לנקודה b וניעזר בכלל המקבילית למצוא את נקודה a+b לפי הנחתנו לגבי הראשית. למעשה קיבלנו את הנקודה p + (ap) + (bp). באופן דומה נוכל ליצור צירוף לינארי של a ו-b או של כל קבוצה סופית של וקטורים. לרוב, נקבל תשובה שגויה (בגלל ההנחה לגבי הראשית), אולם אם סכום המקדמים של הצירוף הלינארי הוא 1 התשובה תהיה נכונה.

תיאור ההוכחה: נניח x הוא תוצאת צירוף אפיני של וקטורים x_i עם מקדמים \alpha_i. באופן דומה x' הוא צירוף אפיני עם אותם מקדמים, של הווקטורים המוזזים x'_i=x_i - p, אזי:

x' = p + \sum_{i=1}^n{\alpha_i \cdot \left(x_i - p\right)} = p +\sum_{i=1}^n{\alpha_{i} \cdot x_{i}} - (\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i}) \cdot p =p +\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i \cdot x_i} - p= x