מערכת לא-טרנזיטיבית של משתנים מקריים

בתורת ההסתברות, קבוצה של n משתנים מקריים היא מערכת לא-טרנזיטיבית אם היא כוללת שרשרת של משתנים $\ X_{0},\dots ,X_{n-1}$ כך ש-$\ P(X_{i}>X_{i+1{\pmod {n}}})>1/2$ לכל $i=0,\ldots ,n-1$, בדומה לדירוג המצבים המעגלי במשחק אבן נייר ומספריים.

אומרים שמשתנה מקרי X עדיף על משתנה מקרי Y, אם הסיכוי לכך ש- X>Y הוא יותר מחצי. העובדה שקיימות מערכות לא-טרנזיטיביות של משתנים מקריים מדגימה שיחס העדיפות אינו טרנזיטיבי, בניגוד לתפיסה האינטואיטיבית המכתיבה שאם X עדיף על Y ו-Y עדיף על Z, אז יש לצפות גם לכך ש-X עדיף על Z.

את העדר הטרנזיטיביות אפשר לנסח גם כך: לכל אחד מן המשתנים X בשרשרת, יש משתנה Y ש- X עדיף ממנו, ויש משתנה Z העדיף על X. כלומר, לא קיים משתנה בעל עדיפות גבוהה ביותר או נמוכה ביותר.

דוגמה

קוביות אפרון

את המשתנים המקריים אפשר לממש באמצעות קוביות משחק שהסיכוי שלהן ליפול על כל פאה הוא שישית. מערכת הקוביות של אפרון (שגילה הסטטיסטיקאי ברדלי אפרון) מורכבת מארבע קוביות באופן הבא:

• A: הערכים 4, 4, 4, 4, 0, 0
• B: הערכים 3, 3, 3, 3, 3, 3
• C: הערכים 2, 2, 2, 2, 6, 6
• D: הערכים 5, 5, 5, 1, 1, 1

במערכת הזו A עדיף על B; B עדיף על C; C עדיף על D; ו- D עדיף על A - בכל מקרה, הסיכוי לערך גבוה יותר במשתנה העדיף הוא 2/3. לכן השרשרת A, B, C, D אינה טרנזיטיבית. הסיכוי ל- C>A הוא 5/9, ולכן גם השלשה A,B,C אינה טרנזיטיבית (הסיכוי ל- B>D ול- D>B הוא 1/2, כך שאף אחד משני משתנים אלה אינו עדיף על רעהו).

משתנים בעלי שני ערכים

נסמן $\ \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618$, יחס הזהב, ו- $\ \phi '=\phi -1\approx 0.618$. נגדיר משתנים X, Y, Z כך ש-X מקבל את הערכים 3,0 בסיכויים $\ \phi ',1-\phi '$, בהתאמה; Z מקבל את הערכים 1,4 באותם סיכויים, ואילו Y=2 קבוע. אז X עדיף על Y, העדיף על Z, וזה עדיף על X - כל העדיפויות בסיכוי $\ \phi '>{\frac {1}{2}}$.

עדיפות בתורת המשחקים

את עקרון העדיפות אפשר להדגים באמצעות משחק לשני שחקנים. השחקן הראשון בוחר קובייה ממערכת קוביות נתונה, והשחקן השני בוחר אחריו; אז מטילים שני השחקנים את הקוביות שלהם, והשחקן שקיבל תוצאה גבוהה יותר מנצח. אם מערכת הקוביות היא שרשרת לא-טרנזיטיבית, אז השחקן השני יכול להבטיח ניצחון בהסתברות גדולה מ-1/2, אף על פי שלראשון יש, לכאורה, היתרון שבזכות הבחירה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מערכת לא-טרנזיטיבית של משתנים מקריים בוויקישיתוף