רזולטנט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה, רֶזוּלטַנט הוא שמו של מדד מספרי המחושב משני פולינומים נתונים, ומתאר את הקשר בין השורשים שלהם, בדרך המכלילה את הדיסקרימיננטה.

יהיו f(x) = a_n x^n + \dots + a_0 ו- g(x) = b_m x^m + \dots + b_0 שני פולינומים מעל שדה F. הרזולטנט שלהם מוגדר כדטרמיננטה של המטריצה (n+m)\times (n+m) ש-m שורותיה הראשונות הן ההזזות של הווקטור (a_n,a_{n-1},\dots,a_0), ו-n שורותיה האחרונות הן הזזות של הווקטור (b_m,b_{m-1},\dots,b_0) (עם אפסים בכל מקום אחר).

נניח שהמקדם המוביל של f אינו אפס. לפולינומים f,g יש גורם משותף אם ורק אם הפולינומים f, xf, \dots, x^{m-1}f, g, xg, \dots, x^{n-1}g תלויים לינארית. מכאן נובע שיש שורש משותף (בשדה פיצול משותף לשני הפולינומים) אם ורק אם הרזולטנט של f,g הוא אפס. למעשה,

 \operatorname{Res}(f,g) = a_n^m b_m^n \prod_{i,j}(x_i-y_j) = a_n^m \prod_i g(x_i) = b_m^n \prod_j f(y_j),

כאשר x_1,\dots,x_n הם השורשים של f, ו-y_1,\dots,y_m הם השורשים של g.

מחוק קרמר נובע שהרזולטנט של פולינומים מעל שדה שייך לאידאל שהם יוצרים בחוג הפולינומים מעל השדה. אם מקדמי הפולינומים שייכים לתחום שלמות D, גם הרזולטנט הוא איבר באותו תחום שלמות. תכונה זו מאפשרת לרזולטנט לטפל גם בפולינומים בכמה משתנים.

הדיסקרימיננטה של פולינום מתקבלת מן הנוסחה  \operatorname{Res}(f,f') = (-1)^{n(n-1)/2} a_n \Delta(f).

ברזולטנט אפשר להשתמש כדי לפתור את בעיית הפירוש (Implicitization) של עקום פרמטרי מישורי: נתון העקום \ x_1 = f_1(t),\ x_2 = f_2(t), כאשר f_1,\,f_2 פולינומים. מהי המשוואה הפולינומית שאותה מקיימים \ (x_1,x_2)? התשובה היא הרזולטנט של \ x_1 - f_1(t), x_2-f_2(t) ביחס למשתנה t (אותו פתרון נכון גם כאשר \ f_1,f_2 פונקציות רציונליות, על ידי כפל במכנה המשותף). כאשר מדובר בעקום במרחב רב-ממדי, היחסים האלגבריים בין ה-\ x_i מתקבלים מניפוי t באידאל \ \langle x_1-f_1(t),\dots,x_n-f_n(t)\rangle באמצעות בסיס גרובנר.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]