אלגברה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
נוסחת השורשים מביעה את הפתרון של הנוסחה ממעלה שנייה כש-a שונה מאפס.

אלגברה (מילה שמקורה בערבית: الجـَبـْر "אל-ג'בּר" שפירושה: "חיבור של חלקים שבורים"[1]) היא תחום במתמטיקה העוסק בפעולות, פונקציות ויחסים עם דגש על המבנים שהם יוצרים.

אלגברה מתחלקת לכמה תחומים:

ביטוי ערכים אלגבריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פרנסואה וייט הנהיג את הסמלים האלגבריים שאנו משתמשים בהם כיום.

אלגברה לא תמיד השתמשה בסמלים לביטוי ערכים, שכיום השימוש בהם מקובל במתמטיקה. לאלגברה היו שלושה שלבים ברורים של ביטוי ערכים:

  • אלגברה מילולית, שבה המשוואות כתובות באמצעות משפטים שלמים. לדוגמה, הביטוי המילולי של יהיה "העצם ועוד אחד שווה שתיים" או אולי "העצם ועוד 1 שווה 2". אלגברה מילולית פותחה לראשונה על ידי הבבלים העתיקים ונשארה חשובה ושולטת עד למאה ה-16.
  • אלגברה סינקופית, שבה יש שימוש חלקי בסמלים, אך שאין בה את כל המאפיינים של האלגברה הסמלית. לדוגמה, יכולה להיות מגבלה האוסרת חיסור יותר מפעם אחת באגף של משוואה, מגבלה שלא קיימת באלגברה הסמלית. ביטויים סינקופיים הופיעו לראשונה ב"אריתמטיקה" של דיופנטוס שנכתב במאה השלישית לספירה, והמנהג הומשך על ידי בראהמגופטה במאה השביעית בספרו בראהמספהוטסידהאנטה.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

היסטוריה מוקדמת של האלגברה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפפירוס רינד פתר בעיות באמצעות שיטות גאומטריות, צורה אופיינית לתקופה.
שער התרגום הלטיני של קלוד באשה ל"אריתמטיקה".

ניתן למצוא ראיות ראשוניות לעיסוק באלגברה אצל הבבלים העתיקים, שפיתחו שיטה אריתמטית מתקדמת שבה יכלו לחשב בדרך דמוי אלגוריתמית. הבבלים פיתחו נוסחאות לחישוב פתרונות של שאלות שהיום לפתרונם משתמשים במשוואות ליניאריות, משוואות ממעלה שנייה, ומשוואות ליניאריות לא מוגדרות. בניגוד לכך רוב המתמטיקאים המצרים, הסינים והיוונים של המילניום הראשון לפני הספירה פתרו בעיות כאלה בעזרת שיטות גאומטריות, כדוגמת אלה המתוארות בפפירוס רינד, ביסודות של אוקלידס, ובתשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה. הכתבים הגאומטריים של היוונים, המוצגים ביסודות, היו לקווי יסוד להכללה של נוסחאות שפתרו מקרים פרטיים לשיטות יותר כלליות לביטוי של ופתירת משוואות, למרות שהמצוין לעיל לא מומש עד שהמתמטיקה התפתחה באסלאם היְמֵי-בֵּינַיְמִי.

"הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון" נחשב לאבן דרך בהתפתחות האלגברה ואשר הקנה לה את שמה.

עד שהגיעה תקופת אפלטון, המתמטיקה היוונית השתנתה מאוד. היוונים פיתחו סוג של אלגברה גאומטרית שבה ערכים הוצגו על ידי צדדים של עצמים גאומטריים (לרוב קווים), עם אותיות המשויכות להם. דיופנטוס היה מתמטיקאי יווני אלכסנדרי מהמאה השלישית לספירה, שכתב סדרת ספרים בשם אריתמטיקה, שעסקו בפתרון של משוואות אלגבריות, שהובילו בתורת המספרים למושג המשוואה הדיופנטית.

המסורות המוקדמות המוזכרות לעיל השפיעו מאוד על המתמטיקאי הפרסי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי (780 בערך - 845 בערך). הוא זה שכתב את הספר "אל-כתאב אלמח'תצר פי חיסאב אל-ג'בר ואל-מוקאבלה" ("הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון"), שביסס את האלגברה כתחום מחקר מתמטי שנפרד מהאריתמטיקה ומהגאומטריה.

בראהמגופטה, שספרו בראהמספהוטסידהאנטה הוא אחד מספרי המתמטיקה הראשונים בהם מופיעים הרעיונות של מספרים חיוביים, שליליים ואפס.

המתמטיקאים ההלניסטים דיופנטוס והרון מאלכסנדריה וגם מתמטיקאים הודים כגון בראהמגופטה המשיכו את המסורות של מצרים העתיקה ושל בבל, אך ספריהם אריתמטיקה של דיופנטוס ובראהמספהוטסידהאנטה של בראהמגופטה היו ברמה גבוהה יותר. לדוגמה, הפתרון האריתמטי המלא הראשון (זה שכולל פתרונות שהם אפס או שליליים) למשוואות ריבועיות תואר בספר של בראהמגופטה, בראהמספהוטסידהאנטה. בתקופה יותר מאוחרת, מתמטיקאים ערבים ופרסים פיתחו שיטות אלגבריות שהיו מתוחכמות ומורכבות בהרבה מהקודמים להם. למרות שדיופנטוס והבבלים השתמשו בעיקר בשיטות אד הוק מיוחדות לפתרון משוואות, התרומות של אל-ח'ואריזמי היו עצומות. הוא פתר משוואות ליניאריות וריבועיות ללא סמלים אלגבריים, מספרים שליליים או אפס, ולכן היה צריך להבדיל בין סוגים שונים של משוואות.

אבות האלגברה: אל-ח'ואריזמי ודיופנטוס


בהקשר שבו האלגברה מזוהה עם תורת המשוואות, המתמטיקאי היווני דיופנטוס נחשב ל"אבי האלגברה", ובהקשר שבו אלגברה מזוהה כדרך וחוקים לפתירת משוואות ולשימוש בהן, אל-ח'ואריזמי נחשב ל"אבי האלגברה". בתקופתנו מתקיים דיון מי מבין השניים זכאי יותר לכינוי "אבי האלגברה" (באופן כללי). אלה שתומכים בדיופנטוס טוענים שהאלגברה שנמצאת באל ג'בר היא יותר בסיסית מהאלגברה באריתמטיקה, שבאריתמטיקה האלגברה סינקופית ובאל ג'בר האלגברה היא מילולית בלבד. אלה שתומכים באל-ח'ואריזמי טוענים שהוא זה שהמציא והנהיג את הרדוקציה, את העברת אגפים ואת המכנה המשותף, שאליהם המונח אל-ג'בר התייחס בהתחלה. אל-ח'אריזמי גם נתן הסבר מקיף לפתרון משוואות ריבועיות, שנתמך על ידי הוכחות גאומטריות, וגם התייחס אל האלגברה כתחום מחקר משל עצמו. האלגברה שלו כבר לא טיפלה ברצף של בעיות שצריכות להיפתר אלא היא הייתה אקספוזיציה שמתחילה עם ביטוי ראשוני שבו הקומבינציות צריכות לתת את כל התשובות האפשריות שממנו, שמכאן והלאה זה הכתיב את המטרה האמיתית של תחום המחקר. אל-ח'ואריזמי גם בחן משוואות מטעם הבחינה שלהן ומבחינה כללית, כך שההגדרה היא לא של בעיה יחידה, אלא של מספר בעיות אינסופי.

למתמטיקאי פרסי נוסף בשם עומר ח'יאם מיוחס הזיהוי של הבסיס של גאומטריה אלגברית, ומציאת פתרון גאומטרי כללי לפונקציה ממעלה שלישית. הספר שלו "מאמר על הדגמה של בעיות של אלגברה", שנכתב ב-1070, הניח את היסודות של האלגברה, והיה חלק מרכזי מתמטיקה פרסית ומאוחר יותר הועבר גם לאירופה. מתמטיקאי פרסי נוסף, שרף אל-דין אל-טוסי, מצא פתרונות נומריים ואלגבריים למספר מקרים של משוואות ממעלה שלישית, וגם פיתח את מושג הפונקציה. המתמטיקאים ההודים מאהבירה ובהאסקארה, המתמטיקאי הפרסי אל-כרג'י והמתמטיקאי הסיני ז'ו שיז'יה פתרו מגוון מקרים של משוואות ממעלה שלישית, רביעית, חמישית, ומשוואות פולינומיות ממעלות יותר גבוהות בעזרת שיטות נומריות. מציאת הפתרון המלא למשוואה ממעלה שלישית במאה ה-13 על ידי פיבונאצ'י מייצגת את התחייה מחדש של המתמטיקה האירופאית. במאה ה-15 אבו חסן אבן עלי אל-קצאדי הערבי לקח את הצעדים הראשונים להנהגת סמלים אלגבריים. הוא גם חישב את סכום המספרים הטבעיים בחזקת שתיים ובחזקת שלוש (עד ל-n), ומצא דרך רציפה לאומדן שורשים ריבועיים. כשהמתמטיקה הערבית הידרדרה, המתמטיקה האירופאית פרחה, וכאן המתמטיקה התפתחה יתר על כן.

היסטוריה מודרנית של האלגברה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבודתו של פרנסואה וייט על אלגברה חדשה בסוף המאה ה-16 הייתה צעד חשוב לעבר האלגברה המודרנית. ב-1637 רנה דקארט הוציא את ספרו לה גאומטרי, בו המציא את הגאומטריה האנליטית ואת הסמלים האלגבריים המודרניים. עוד אירוע חשוב להתפתחות הנוספת של האלגברה הוא פתרון אלגברי כללי ומלא למשוואות ממעלה שלישית ורביעית, שפותח באמצע המאה ה-16. מושג הדטרמיננטה פותח על ידי המתמטיקאי היפני סקי טקאקאזו במאה ה-17, ונמשך על ידי גוטפריד לייבניץ באופן עצמאי עשר שנים מאוחר יותר, שעשה זאת כדי לפתור מערכות של משוואות ליניאריות סימולטניות בעזרת מטריצות. במאה ה-18, גבריאל קרמר גם עבד על מטריצות ודטרמיננטות. תרומות נחקרו על ידי ז'וזף לואי לגראנז' במאמרו Réflexions sur la résolution algébrique des équations שנכתב ב-1770 שהוקדש לפתרון של משוואות אלגבריות, שחידש בתחום. בסוף המאה ה-18, פאולו רופיני פיתח תאוריה בתורת החבורות שבה עסק בהקשר של משוואות אלגבריות.

במאה ה-19 התפתחה לראשונה האלגברה המופשטת. בתחילה האלגברה המופשטת התרכזה במה שמכונה כיום תורת גלואה. במאה ה-19 גם פותחה לראשונה המחשבה האקסיומטית באריתמטיקה ובאלגברה על ידי ג'ורג' פיקוק. אוגוסטוס דה מורגן גילה תחום נוסף באלגברה האבסטרקטית בעבודתו Syllabus of a Proposed System of Logic. ג'וסיה וילארד גיבס פיתח את מושג הוקטורים במרחב תלת ממדי, וארתור קיילי פיתח אלגברה של מטריצות.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]