ריבוע הקסם של פרוידנטל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

ריבוע הקסם של פרוידנטל הוא תבנית המארגנת בניה אחידה של כמה אלגברות לי, חלקן ספורדיות. הריבוע נקרא על-שם הנס פרוידנטל שפיתח את הבניה במקביל לז'אק טיץ. ריבוע הקסם מתאים לזוג אלגברות הרכב מעל הממשיים אלגברת לי, שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מוצג בריבוע, כדלקמן:

ריבוע הקסם

השורה האחרונה בריבוע כוללת את כל האלגברות הספורדיות, למעט , ומדגימה עד כמה קשורות האלגברות הספורדיות לאלגברת האוקטוניונים ( עצמה היא אלגברת הנגזרות של אלגברת האוקטוניונים).

בניית טיץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

כידוע, יש בדיוק ארבע אלגברות הרכב עם יחידה, ללא מחלקי אפס, מעל הממשיים: שדה הממשיים עצמו, , שדה המספרים המרוכבים , אלגברת הקווטרניונים של המילטון ואלגברת האוקטוניונים . תיאור דומה נכון מעל כל שדה: פרט לשדה עצמו, אפשר למנות את ההרחבות הריבועיות הספרביליות, את אלגברות הקווטרניונים, ואת אלגברות קיילי. על אלגברות אלה מוגדרת אינוולוציה סטנדרטית , שאפשר להמשיך אותה גם לאלגברות של מטריצות מעליהן. ההעתקה מ-A לשדה הסקלרים נקראת העתקת העקבה.

נניח שהמאפיין זר ל-6, ותהיינה A,B אלגברות מהנזכרות מעלה. נסמן ב- J את אלגברת ז'ורדן של כל המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל B. נסמן ב- וב- את אוסף האיברים בעלי עקבה 0 ב-A וב-J, בהתאמה. בניית טיץ של A ו-B מחזירה את המרחב הווקטורי , כאשר היא אלגברת הנגזרות (וכך גם ל-J), עם פעולת כפל ההופכת אותו לאלגברת לי, ומוגדרת כך ששני מרכיבי הנגזרות הם תת-אלגברות המתחלפות זו עם זו, ופועלות באופן טבעי על המרכיב הנותר: כאשר . פעולת הכפל בין אברי המכפלה הטנזורית מסובכת יותר: , כאשר .

אם A היא מן הטיפוס המציין שורה ו-B מן הטיפוס המציין עמודה, התוצאה היא אלגברת לי פשוטה (או, במקרה אחד, פשוטה למחצה), שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מצוין בריבוע הקסם.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Encyclopaedia of Mathematical Sciences 57, Algebra VI, Part II, E.N.Kuzmin and I.P.Shestakov, sec 3.3.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]