אלגברת אלברט

במתמטיקה, אלגברת אלברט היא אלגברת ז'ורדן פשוטה מממד 27. אלגברות אלברט מוגדרות מעל כל שדה ממאפיין שונה מ-2, והן אלגברות ז'ורדן הפשוטות היחידות שאינן נספחות לאלגברה אסוציאטיבית.

הגדרה

תהי C אלגברת אוקטוניונים מעל שדה ממאפיין שונה מ-2. על אלגברת המטריצות בגודל 3x3 מעל C מוגדרת האינוולוציה של שחלוף והצמדת הרכיבים. אוסף המטריצות הסימטריות ביחס לאינוולוציה זו, עם הפעולה x*y=(xy+yx)/2, הוא אלגברת ז'ורדן פשוטה מממד 27. כל אלגברה כזו נקראת אלגברת אלברט, בעקבות עבודתו של אדריאן אלברט מ-1934 שבה הוכיח שהן אכן פשוטות. ב-1947 הראה אלברט שכל אלגברת ז'ורדן פשוטה מיוחדת (היינו כזו שאינה נספחת לאלגברה אסוציאטיבית) היא אלגברת אלברט.

מבנה וקשרים

לכל אלגברת אלברט שהיא אלגברת חילוק יש איזוטופ שהוא ציקלי, כלומר כזה המכיל הרחבה ציקלית תלת-ממדית של שדה הבסיס (Petersson-Racine אם שדה הבסיס מכיל שורש שלישי של היחידה; Petersson 1999 במאפיין 3; Maneesh Thakur 2022 במקרים הנותרים).

הקשר לאלגברות לי ולחבורות אלגבריות

מעל שדה ממאפיין אפס, אלגברת הנגזרות $\ \operatorname {Der} (J)$ של אלגברת אלברט J היא אלגברת לי הפשוטה מטיפוס $\ {\mathsf {F}}_{4}$, וממדה 52. אם נסמן ב-$\ J_{0}$ את המרחב של פעולות הכפל של אברי J על האלגברה עצמה שהעקבה שלהן (כהעתקות ליניאריות) היא אפס, אז $\ J_{0}+\operatorname {Der} (J)$ היא אלגברת לי פשוטה מטיפוס ${\mathsf {E}}_{6}$. בניות דומות מובילות לאלגברות לי הפשוטות מטיפוסים ${\mathsf {E}}_{7}$ ו-${\mathsf {E}}_{8}$ (ראו ריבוע הקסם של פרוידנטל).

חבורת האוטומורפיזמים של אלגברת ז'ורדן היא חבורה אלגברית פשוטה, פשוטת קשר לחלוטין וקשירה מטיפוס $\ {\mathsf {F}}_{4}$. החבורה (עד כדי איזומורפיזם של חבורות אלגבריות) קובעת את האלגברה (עד כדי איזומורפיזם של אלגברות). טענה דומה נכונה גם עבור אלגברות אוקטוניונים (שם חבורת האוטומורפיזמים היא מטיפוס ${\mathsf {G}}_{2}$).

לקריאה נוספת

• H.P. Petersson, "A survey on Albert algebras", Transformation Groups, Vol. 24(1), 2019, pp. 219-278.