שיחה:הפרדוקס של ראסל
יש לדעתי טעות כאן, למיטב זיכרוני מן הקורס מתמטיקה בדידה (פרופ' ארנון אברון) והספר פרדוקסים (גם פרופ' אברון) המשמעות של הפרדוקס של ראסל היא לא שאסור לקבוצה להכיל את עצמה. אומנם זה נשמע טוב אבל זה אוכף מבנה היררכי וכמות בעיות שראסל לא יצא ממנה מהר (פרינציפיה מתמתיקה זה ספר די עבה - במובן הרב כירכי). המשמעות כפי שלימד הפרופ' היתה שהתגלה מתוך פרדוקס ראסל שהיתה אקסיומה נסתרת המניחה שניתן לבנות קבוצה על סמך כל האיברים השותפים לתכונה, וכאשר הוציאו את האקסיומה הנסתרת הזאת מהלוגיקה המתימטית באו הדברים שוב על מקומם בשלום.
קבוצה בת-קיימה, חייבת לקיים במלואה את כל האמור באקסיומה המקיימת אותה.דורון שדמי
גם לדעתי יש כאן טעות[עריכת קוד מקור]
זה לא שאסרו על הגדרת קבוצה להתייחס לעצמה. מה שכן, זה שאסרו על הגדרת קבוצת כל האיברים המקיימים תכונה מסוימת, אלא רק כל האיברים בקבוצה נתונה המקיימים תכונה מסוימת. זו נקראת אקסיומת ההפרדה.
- אתם בהחלט צודקים, ומאוד בסדר שהערך היה כך זמן רב כל כך. הייתי מתקן בעצמי אבל הידיעות שלי בנושא לא משהו אז אזעיק את המומחה... גדי אלכסנדרוביץ' 22:00, 27 אוקטובר 2005 (UTC)
- במחשבה נוספת אני קצת פחות בטוח שאקסיומת ההפרדה אומרת את זה, אבל אני די בטוח שהפרדוקס של ראסל לא אומר שבאופן כללי יש בעיה בכך שקבוצה מכילה את עצמה. זה רק מחזק את האמונה שלי שעדיף שאמשוך ידי מהערך. גדי אלכסנדרוביץ' 22:04, 27 אוקטובר 2005 (UTC)
- שכתבתי. עוזי ו. 23:11, 27 אוקטובר 2005 (UTC)
- במחשבה נוספת אני קצת פחות בטוח שאקסיומת ההפרדה אומרת את זה, אבל אני די בטוח שהפרדוקס של ראסל לא אומר שבאופן כללי יש בעיה בכך שקבוצה מכילה את עצמה. זה רק מחזק את האמונה שלי שעדיף שאמשוך ידי מהערך. גדי אלכסנדרוביץ' 22:04, 27 אוקטובר 2005 (UTC)
בסיס לשיפור[עריכת קוד מקור]
כבסיס לשיפור בהירות הערך כדאי, לדעתי, להתבונן ב- http://gifted.cet.ac.il/gifted/skira/paradox/paradox4.asp וב-http://img.tapuz.co.il/forums/21635488.doc
תקיפותה של קביעה קטגורית:
קביעה קטגורית הינה קביעה שאין לערער אליה (היא תקיפה בהכרח), ולכן יש לבחון את השפעתה על מערכת המשתמשת בה.
חוק-משחק X " : A תקף אם ורק אם X לא_תקף "
נאמר שחוק A הינו קביעה קטגורית.
שאלה: האם X תקף או לא_תקף (לפי A)?
אם X לא_תקף אז לפי X , A תקף.
אם X תקף אז לפי X , A לא_תקף.
הפרדוקס מתבטא באי-יכולתנו לענות לשאלה המבוססת על חוק-משחק A, וחוק זה מוביל לפרדוקס (במקרה דנן) בתנאי שקיימת דרישה קטגורית להכריע באופן חד-משמעי כל שאלה העומדת על הפרק, והניתנת לניסוח פורמלי במסגרת מערכת-חוקים נתונה.
[אגב: לוגיקת שני-המצבים (T xor F) הינה לוגיקה המבוססת על דרישה קטגורית זו, ושלמותה של מערכת אקסיומות (לפי הלוגיקה במובנה הקלאסי) נבחנת ביכולת לעמוד בדרישה קטגורית זו.]
בין ראסל לגדל:
אם מערכת חוקי-משחק Z כוללת את חוק-משחק A , הריי ש-A מקיים מצב שאינו בר-הכרעה במסגרת Z, ולכן Z אינה מערכת כללים שלמה (בתנאי ששלמות מוגדרת כ: " מערכת-כללים שחייבת להכריע כל שאלה, הניתנת לניסוח פורמלי במסגרתה ")
כמו-כן, אם חוק-משחק כגון A איננו סותר אף אחד משאר חוקי-המשחק של Z, הרי ש-Z הינה מערכת חוקי-משחק עקבית אך לא-שלמה (כי חוק-משחק A אינו בר-הכרעה במסגרתה).
גדל הוכיח באופן קונסטרוקטיבי קיומן של מערכות כגון Z , ומזה נובע שאם Z הינה מערכת שלמה (זאת אומרת, מסוגלת להכריע חד-משמעית בשאלה הקשורה לחוק-משחק A ), הריי שהשאלה הקשורה לחוק-משחק A הינה ברת_הכרעה וגם לא_ברת_הכרעה במסגרת Z (או במילים אחרות, הדרישה לעקביות וגם שלמות של מערכת כגון Z , הינה דרישה לא עקבית , ולכן דרישה עקבית במקרה של Z היא: " Z עיקבית או Z שלמה, אך לא שתי האפשרויות גם יחד ").
תקיפותה של קביעה:
תקיפותה של קביעה נבחנת בראש ובראשונה ביכולתה לקיים את כל האמור בה.
קביעה A: קבוצה X מכילה רק את כל קבוצות Y , כאשר כל קבוצה Y הינה קבוצה שלא מכילה את עצמה כאיבר של עצמה.
שאלה: האם קביעה A תקיפה?
תשובה: קביעה A תקיפה אם התנאי כל תקף, ולכן הבה ונבדוק את תקיפות התנאי כל.
אם X אינה מכילה את עצמה, הרי ש-Y היא -בין השאר- X (לפי קביעה A), ולכן כדי לענות לתנאי כל המופיע בקביעה A, חייבת X לכלול עצמה כאיבר של עצמה (אחרת כל = פחות_מכל, אם X איננה כל קבוצות Y ).
אם X מכילה עצמה כאיבר של עצמה (כדי לענות לתנאי כל המופיע בקביעה A), הרי שלפי קביעה A, מכילה קבוצה X איבר מיותר Z) Z = קבוצה X המכילה את עצמה כאיבר של עצמה) בעוד שלפי קביעה A, מכילה X רק את כל קבוצות Y (כאשר כל קבוצה Y הינה קבוצה שלא מכילה את עצמה כאיבר של עצמה).
כל קבוצות Y ועוד קבוצה Z גורמת לכך שכל=יותר_מכל, או במילים אחרות, התנאי כל המופיע בטענה A, אינו תנאי תקף.
לסיכום: לפי קביעה A, כל=פחות_מכל או כל=יותר_מכל ולכן A הינה קביעה לא תקיפה, כי אין היא מקיימת את כל האמור בה.
מכאן נובע כי: הפרדוקס של ראסל אינו תקף, כי הוא נסמך על קביעה לא תקיפה. דורון שדמי 21:25, 13 אפריל 2006 (UTC)
- שלום, דורון.
- קודם כל, תודה על הקישורים. לא בדקתי אותם עדיין, אבל בדרך כלל קישורים כאלה מועילים מאוד למי שעורך ערכים.
- תרשה לי לתת לך עצה טכנית קטנה: הרבה יותר קל לעקוב אחרי דיונים, אם המתדיינים חותמים ומשאירים גם את תאריך ושעת התגובה שלהם. ניתן לעשות זאת אוטומטית ע"י כתיבת 4 סימני זרקא ("~~~~").
- שנית, יש כמה אמירות לא נכונות בדברים שלך, אבל אני לא אציין מהן. זה לא המקום, ואני אישית משתדל שיותר תרומות שלי בויקיפדיה יהיו לערכים מאשר לדפי שיחה. אולי אני אשלח לך אימייל עם הערות, אם יהיה לי זמן וחשק.
- ברוך הבא! חגי הלמן 21:05, 13 אפריל 2006 (UTC) ("האייל הצעיר")
משפט מטעה[עריכת קוד מקור]
המשפט האחרון מבלבל:
"כל הקבוצות בתורת הקבוצות המודרנית הן קבוצות קטנות, ולא ניתן לאסוף את כולן לקבוצה אחת - אוסף כזה הוא גדול מכדי להיות קבוצה."
לא ברור האם הוא עוסק בקבוצה "קטנות" ו"גדולות" ע"פ ההגדרות שהופיעו קודם, או ע"פ עוצמתן.
במקרה הראשון, לא ברור איך אוסף יכול להיות "גדול מדי" - אוסף יכול להיות פשוט קטן, או פשוט גדול, ואין "מידתיות" בעניין הזה. חוץ מזה, משמעות המשפט היא שאין קבוצה ששייכת לעצמה. נדמה לי שזה לא נכון, אבל גם אם כן, צריך לכתוב את זה במפורש.
אם הפרשנות השנייה נכונה, אז המשפט לא מתאים לערך הזה, אלא לערך עוצמה. בפיסקה האחרונה כבר יש הפניה לערך, באותו הקשר.
בכל מקרה, הערך נשאר הגיוני ושלם גם בלי המשפט הזה. לכן אני מוריד אותו. חגי הלמן 12:49, 19 אפריל 2006 (IDT)
המבנה של קבוצות לא-ריקות[עריכת קוד מקור]
דוגמא למבנה קבוצה לא-ריקה המכילה את עצמה הוא:
{a,b,c,…,{a,b,c,…,{a,b,c,…,{...}}}}
דוגמא למבנה קבוצה לא-ריקה אשר אינה מכילה את עצמה הוא:
{a,b,c,…}
מהאמור לעיל ניתן להסיק כי לקבוצות גדולות (קבוצות המכילות עצמן כאיבר של עצמן) חייב להיות מבנה רקורסיבי אינסופי.
שאלה: איזו אקסיומת ZF מונעת רקורסיה אינסופית זו? דורון שדמי 21:32, 19 אפריל 2006 (IDT)
מה בדבר הכלל הידוע?[עריכת קוד מקור]
"לכל כלל יש יוצא מן הכלל." בכוונה זה לא נמצא פה? יו"ש
- מדוע שהכלל הזה ימצא בערך? הוא איננו פרדוקס, אלא סתם משפט שגוי (יש כלל ללא יוצא מן הכלל: "כל כלל הוא כלל"). עוזי ו. 03:17, 2 מאי 2006 (IDT)
ואיפה קנטור?[עריכת קוד מקור]
האם צריך להזכיר בערך את קנטור? בערך עליו נכתב שהפרדוקס הוביל להתמוטטות העצבים שלו (זה גם הסיפור שאני מכיר, אך בערך זה מוזכרת רק ההתכתבות שלו עם פרגה), ונראה לי שיש טעם יותר מרכילותי בלהזכיר זאת כאן. ערןב 22:41, 15 בספטמבר 2007 (IDT)
- למיטב ידיעתי מדובר בקשקוש מקושקש, וכנראה עדיף להעיף אותו גם מהערך על קנטור. העובדות הן שקנטור עצמו היה הראשון לגלות פרדוקסים בתורת הקבוצות, ושהפרדוקס של ראסל התגלה בשלב מאוחר יחסית (פרדוקס בורלי פורטי הקדים אותו בהרבה). אפשר למצוא סיבות רבות לבעיות של קנטור, ועד היום לא ראיתי שום מקור רציני שטוען שדווקא הפרדוקס של ראסל (שכמו משפטי גדל, אוהבים לייחס לו הרסנות עצומה שלא הייתה לו) הוא שגרם להתמוטטות עצבים זו או אחרת שלו. גדי אלכסנדרוביץ' 23:54, 17 בספטמבר 2007 (IST)
סתם תהיה, בלי קשר לאנציקלופדיה[עריכת קוד מקור]
אי אפשר לפתור את זה כמו שפותרים את פרדוקס השקרן- אסור לקבוצה שהגדרתה (ולפיכך האיברים הנמצאים בה) יהיו מושפעים מהאיברים הנמצאים בה, וחסל סדר פרדוקס? נוי - שיחה 21:04, 9 באוגוסט 2008 (IDT)