שיטת רונגה-קוטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה נומרית, רונגה-קוטה היא משפחת שיטות איטרטיביות, ישירות ועקיפות (Implicit and explicit), הכוללות את השיטה הפשוטה והידועה, שיטת אוילר, המבוססת על דיסקרטיזציה טמפורלית להערכת פתרונות מקורבים של משוואות דיפרנציאליות רגילות.[1] שיטות אלו פותחו בסביבות שנת 1900 על ידי המתמטיקאים הגרמנים קארל דייוויד רונגה ומרטין וילהלם קוטה. לשיטות שימושים רבים בפיזיקה, בכימיה ובביולוגיה.

השיטות משמשת לפתרון של משוואה דיפרנציאלית רגילה ויחידה מסדר ראשון או שני (דוגמת החוק השני של ניוטון), או לפתרון סט של שתי משוואות דיפרנציאליות מצומדות מסדר ראשון (דוגמת משוואות המילטון). במקרים מסוימים ניתן אף להשתמש בשיטות הללו על מנת לפתור משוואות דיפרנציאליות חלקיות, כגון משוואת שרדינגר.

תיאור[עריכת קוד מקור | עריכה]

שיטות רונגה-קוטה ממוספרות על פי הסדר הגבוה ביותר של פונקציונלי העזר המשמשים במסגרתן. כך למשל, שיטת רונגה-קוטה מסדר שני עושה שימוש בשני פונקציונלים על מנת לקבל כלל נסיגה המגדיר את וקטור הפתרונות. בנוסף, מתוך מספור השיטה ניתן לקבל מידע על הסדר של שגיאת הקיטוע המקומית.

השיטה המוכרת ביותר במשפחה זו, היא שיטת רונגה-קוטה מסדר רביעי, המוכרת גם בתור "שיטת רונגה-קוטה הקלאסית" או בתור הקיצור RK4. להלן המרשם לפתרון משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר ראשון.

תהי בעיית תנאי שפה (מד"ר מסדר ראשון) מהצורה הבאה:

כאשר היא פונקציה לא-ידועה של הזמן אותה נרצה להעריך במסגרת הקירוב. הפסוק הנ"ל אומר כי הנגזרת של היא פונקציה של הזמן ושל עצמה. עוד נתון תנאי ההתחלה על , אשר יהווה מרכיב מרכזי בפתרון בשיטת רונגה-קוטה להלן.

כעת נבחר צעד אי-שלילי כלשהו ונגדיר ארבעה פונקציונלים :

כאשר ניתן לתת פרשנות גאומטרית לכל אחד מהם:

  • הוא השיפוע בתחילת המקטע (התחום בין הנקודה הידועה וע"י הנקודה הבאה אחריה ).
  • הוא השיפוע במחצית המקטע, כמחושב בעזרת ו-.
  • הוא שוב, השיפוע במחצית המקטע, אך הפעם כמחושב בעזרת ו-.
  • הוא השיפוע בסוף המקטע.

על בסיס ארבעת הפונקציונלים הללו, נבנה את כלל הנסיגה הבא:

לעיתים, נהוג הסימון לממוצע הפונקציונלים המשוקלל המופיע בכלל הנסיגה לעיל. ניתן לראות כי משקל רב יותר ניתן לשיפוע במחצית המקטע.

אם לא תלויה ב- הרי שהאינטגרציה טריוויאלית ושיטת רונגה-קוטה מסדר רביעי שקולה להפעלתו של כלל סימפסון (אנ').

שגיאת הקיטוע המקומית בשיטה הנ"ל היא מסדר גודל של , בעוד השגיאה הנצברת הכוללת היא מסדר גודל של .

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא שיטת רונגה-קוטה בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ DEVRIES, Paul L. ; HASBUN, Javier E. A first course in computational physics. Second edition. Jones and Bartlett Publishers: 2011. p. 215.
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.