תת-קטגוריה

במתמטיקה, תת-קטגוריה של קטגוריה C היא קטגוריה שבה אוסף האובייקטים הוא תת-אוסף של אוסף האובייקטים של C, אוסף המורפיזמים הוא תת-אוסף של אוסף המורפיזמים של C, אם אותם מורפיזמי זהות והרכבה.

הגדרה

תת-קטגוריה S של קטגוריה C נתונה על ידי

• תת-אוסף ob(S) של אוסף האובייקטים של C ו
• תת-אוסף hom(S) של אוסף המורפיזמים של C

כך ש

• לכל אובייקט X ב ob(S), מורפיזם הזהות Id_X שייך ל hom(S).
• לכל מורפיזם f : X → Y, גם המקור X וגם הטווח Y שייכים ל hom(S).
• לכל שני מורפיזמים f ו g ב hom(S), שההרכבה שלהם ב C מוגדרת, ההרכבה שייכת ל hom(S).

האוספים ob(S) ו hom(S) מגדירים קטגוריה S, שההרכבה בה מושרה על ידי ההרכבה ב C, ופונקטור טאוטולוגי מהימן מ־S ל C.

דוגמאות

• קטגוריית הקבוצות הסופיות היא תת-קטגוריה מלאה של קטגוריית הקבוצות.
• קטגורית החוגים היא תת-קטגוריה לא מלאה של קטגוריית ה"חוגים בלי יחידה".

סוגים של תת-קטגוריות

• תת-קטגוריה S ב C נקראת תת-קטגוריה מלאה אם עבור כל שני אובייקטים X ו־Y ב־S מתקיים

$\mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$.

• תת-קטגוריה S של קטגוריה אבלית C נקראת תת-קטגוריית סר אם לכל סדרה מדויקת קצרה

$0\to M'\to M\to M''\to 0$

ב C, M שייך ל־S אם ורק אם גם 'M וגם M שייכים ל S.