אדוות מורלט

חלקו הממשי של אדוות מורלט. ניתן לראות באמצע את צורת גל הסינוס האופיינית הדועכת ככל שמתרחקים מנקודת האמצע

אַדְוַת מורלט או אַדְוַת גאבור (באנגלית: Morlet wavelet או Gabor wavelet ) היא אדווה המורכבת מאקספוננט מרוכב המוכפל בפונקציית גאוסיין. חלקה הממשי של אדוות מורלט דומה במרכזה לגל סינוס. ככל שמתרחקים מאמצעה של האדווה גל הסינוס דועך לעבר קו האפס. אדוות מורלט שימושיות מאוד כאשר רוצים לאפיין עבור סדרה עתית שינויים לאורך הזמן בהרכב התדרים היוצרים אותה באמצעות התמרת wavelet. במקרה זה משמשים אדוות מורלט ליצירת גרף לאנליזת תדר זמן (Time–frequency analysis).

היסטוריה

אדוות מורלט מעל המישור המרוכב.

הפיזיקאי זוכה פרס נובל דניס גאבור הציג בשנת 1964 דרך ליצירת אנליזת תדר-זמן באמצעות סינוסואידים מבוססי חלון זמן סינוסואידי. הצגה זו התבססה על רעיונות מתחום הפיזיקה הקוונטית, וסיפקה את הטרייד אוף האידיאלי בין רזולוציה בזמן ורזולוציה במרחב התדר. בשנת 1984 השתמש הגאופזיקאי ג'ין מורלט ברעיונותיו של גאבור והציג לראשונה פורמליזציה מתמטית של התמרת אדווה רציפה .

הגדרה

האקספוננט המרוכב מוגדר כ:

$ComplexExponent=Me^{i2\pi ft}$

כאשר i הוא מספר היחידה המדומה. M קבוע המשקף את המשרעת של הסינוס. f הוא התדר של הסינוס, מספר המחזורים שהגל עובר ליחידת זמן t.

גאוסיין מוגדר כ:

${\displaystyle Gaussian\left(t\right)=Ae^{-{\frac {(t)^{2}}{2s^{2}}}}}$

כאשר לשם הפשטות הוסר פרמטר הקובע את מרכוז הגאוסיין בנקודה שונה מאפס על ציר $t$. $s$ הוא קבוע השווה לסטיית התקן של פונקציית הגאוסיין. כלומר: $s={\frac {n}{2\pi f}}$ . $n$ הוא קבוע המשקף את מספר המחזורים של האדווה, ו-$f$ הוא התדר של הסינוס שמוכפל בגאוסיין.

כאשר משתמשים באדוות מורלט על מנת לבצע אנליזת תדר זמן פקטור $n$ קובע את הטרייד אוף בין דיוק בזמן לדיוק בתדר. ככל שפקטור $n$ גדול יותר כך הדיוק בזמן פוחת אך הדיוק בתדר עולה. בעצם פקטור $n$ מגדיל את הרוחב של הגאוסיין שמשמש ליצירת האדווה. ככל שהרוחב יותר גדול כך שינויים מאוד מהירים בהרכב התדרים בזמן עלול להתפספס. מנגד רוחב גדול יותר יכול לתפוס יותר טוב פעילות דומיננטית בתדרים מסוימים לאורך זמן.

כדי לקבל את אדוות מורלט מכפילים בין 2 הפונקציות מקבלים:

${\displaystyle MorletWavelet\left(t\right)=Ae^{-{\frac {(t)^{2}}{2s^{2}}}}}e^{i2\pi ft}$

כאשר $A={\frac {1}{(s{\sqrt {\pi }})^{\frac {1}{2}}}}$ הוא פקטור סילום (scaling factor) שמשתנה בין כל תדר לתדר.

שימושים

אדוות מורלט משמשות ליצירת אנליזת תדר זמן, אנליזה נפוצה במדעי המוח. כאשר פעילות מוחית מופיעה בצורה עקבית בתדר מסוים אך הפאזה שלה אינה קבועה, שימוש בטכניקות קלאסיות כמו פוטנציאלים קשורי-אירוע תיכשל באיתור הפעילות. עם זאת כיוון שאדוות מורלט משתמשות בפונקציית אקספוננט המרוכב היא אפקטיבית עבור איתור פעילות בפאזה משתנה. בנוסף, פעילות מוחית ובפרט כזו הנמדדת באמצעות רישומי EEG, היא לרוב אינה פעילות סטציונרית. כלומר מדדים שוליים של הפעילות, כמו ממוצע או סטיית תקן, אינם קבועים בזמן. אנליזת תדר זמן מבוססת אדוות מורלט לא מניחה סטציונריות על כלל הפעילות, אלא רק על האזורים בהם הסינוס המרוכב דומיננטי. הנחה שכזו לרוב כן מתקיימת במידע מרישומי מוח.

לקריאה נוספת

• Cohen, M. X. (2014). Analyzing neural time series data: theory and practice. MIT press