אי-שוויון יאנג

במתמטיקה, אי-שוויון יאנג (באנגלית: Young's inequality for products) הוא אי-שוויון על מכפלה של שני מספרים. אי השוויון נקרא על שמו של המתמטיקאי האנגלי ויליאם הנרי יאנג . אחד השימושים לאי-שוויון זה הוא בהוכחת אי-שוויון הלדר.

אי-שוויון יאנג עבור חזקה 2 אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים $a,b\geq 0$, מתקיים: $$ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}$$

במקרה הכללי, אי-שוויון יאנג אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים $a,b\geq 0$, ועבור $p,q\geq 1$ כך ש ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,$,

$$ab~\leq ~{\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}$$

השוויון מתקבל אם ורק אם $a^{p}=b^{q}$.

הוכחה עבור חזקה 2

עבור a ו b ממשיים, $$0\leq (a-b)^{2}$$ נפתח את הסוגריים, ונקבל: $$0\leq a^{2}-2ab+b^{2}$$ נחבר $2ab$ לשני הצדדים, $$2ab\leq a^{2}+b^{2}$$ ולבסוף, נחלק ב $2$ : $$ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}$$

הוכחה למקרה הכללי

נשתמש באי-שוויון ינסן. כאשר $a=0$ או $b=0$ אי השוויון מתקיים. נניח ש $a>0$ וגם $b>0$. נגדיר $t=1/p$. נקבל ש $(1-t)=1/q$.

בגלל שפונקציית הלוגריתם קמורה, ניתן להשתמש באי שוויון ינסן, ולקבל: $$\ln \left(ta^{p}+(1-t)b^{q}\right)~\geq ~t\ln \left(a^{p}\right)+(1-t)\ln \left(b^{q}\right)=\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$$ נקח אקספוננט בשני הצדדים, ונקבל $$ta^{p}+(1-t)b^{q}~\geq ~ab$$ נציב את $t$ ונקבל את אי-שוויון יאנג.

קישורים חיצוניים

• אי-שוויון יאנג, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.