בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.
|
באלגברה קומוטטיבית, אינדוקציה נתרית (Noetherian induction) היא שיטת הוכחת טענות על אלגברות נתריות, שדומה במובן מסוים לאינדוקציה הרגילה.
תהי
אלגברה נתרית. כדי להוכיח עליה טענה מסוימת, ניתן להיעזר באינדוקציה נתרית - ניתן להניח שהטענה לא נכונה עבור אלגברה כלשהי, אבל נכונה לכל אלגברת מנה
עבור כל אידיאל
, ואז להמשיך באינדוקציה.
הסבר - יהי
אוסף כל האידיאלים
של
כך ש-
דוגמה נגדית לטענה. האוסף אינו ריק, משום שאידיאל האפס שם.
נתרי, ולכן ל-
יש מקסימום, נאמר
. בכך למעשה הוכחה הטענה, משום שמתקבלת אלגברה
שאינה מקיימת את הטענה, ולכל אידיאל אמיתי שלה
המנה מקיימת את הטענה, משום ש-
, ו-
.
טענה: אם
נתרי, קיימים אידיאלים ראשוניים
כך ש-
.
הוכחה: באינדוקציה נתרית, נניח כי
דוגמה נגדית, אבל
איננו דוגמה נגדית לכל
. כעת,
דוגמה נגדית, ולכן איננו תחום שלמות (אחרת ניקח
). לכן, יש אידיאלים
עבורם
. לפי ההנחה,
מקיימות את הטענה, ולכן קיימים
כך ש-
. נקבל
, ולכן
כלומר
, וסיימנו באינדוקציה נתרית.
כהכללה למושג לעיל, נציג בנייה כללית יותר מ
אומרים על יחס
על קבוצה
שהוא בנוי-היטב (Well-founded relation) אם לכל תת-קבוצה לא ריקה
קיים
כך שלכל
מתקיים
. היחס נקרא בנוי היטב הפוך אם
(היחס ההופכי) בנוי-היטב.
בהקשר של יחסים בנויים-היטב, ניתן לדבר על סוג נוסף של אינדוקציה, המהווה מעין גרסה של אינדוקציה טרנספיניטית:
אם
יחס בנוי-היטב, אז כדי להוכיח טענה על כל איבר
מספיק להוכיח אותה על כל
.
אלגברה היא נתרית אם יחס ההכלה על אידיאלים הוא בנוי-היטב הפוך (והיא ארטינית אם היחס הוא בנוי-היטב רגיל).