חוג מנה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, חוג מנה הוא בניה בתורת החוגים הדומה לבניה של חבורות מנה בתורת החבורות. בהינתן חוג ואידאל דו-צדדי , ב- בונים את חוג המנה . מבחינה אינטואיטיבית, מתקבל מ- על ידי איפוס של כל איברי .

בניית חוג המנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן חוג ואידאל דו-צדדי , ניתן להגדיר יחס שקילות על על ידי: אם ורק אם , ואומרים כי שקול ל- מודולו . מחלקת השקילות של איבר ב- נתונה על ידי: . מחלקה זו נקראת מחלקת השקילות של מודולו . את אוסף מחלקות השקילות מסמנים ב-. קבוצה זו הופכת לחוג, חוג המנה מודולו על ידי הפעולות:

מתכונת הבליעה של אידאל דו-צדיי נובע כי פעולות אלה מוגדרות היטב (כלומר - הן אינן תלויות בנציגים אשר נבחרים למחלקות השקילות). איבר האפס של מוגדר להיות ואיבר היחידה (ביחס לכפל) מוגדר להיות . ביחס לפעולות ואיברים אלו, הוא חוג. ההעתקה המוגדרת על ידי היא הומומורפיזם של חוגים, ומההגדרה של נובע כי זהו הומומורפיזם על.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם הוא חוג חילופי, ו- הוא אידאל ב-, אז גם הוא חוג חילופי; ייתכן כי הוא חילופי בעוד ש- אינו.
  • הגרעין של ההעתקה הטבעית שווה ל-. כיוון שהגרעין של הומומורפיזם של חוגים הוא תמיד אידאל (דו-צדדי), ניתן לומר כי אידאלים הם בדיוק גרעינים של הומומורפיזמים. ביתר כלליות, ההומומורפיזמים המוגדרים על חוג המנה שקולים להומומורפיזמים של חוגים המוגדרים על ואשר מתאפסים על . ליתר דיוק, בהינתן אידאל דו-צדדי בחוג והומומורפיזם של חוגים אשר גרעינו מכיל את , קיים הומומורפיזם יחיד כך ש . ההעתקה מוגדרת על ידי הכלל .
  • כמסקנה מכך מתקבל משפט האיזומורפיזם עבור חוגים: כל הומומופריזם של חוגים משרה איזומורפיזם בין חוג המנה לתמונה .
  • בחוג חילופי מתקיים שאידאל הוא ראשוני אם ורק אם חוג המנה הוא תחום שלמות. יתר על כן, הוא אידאל מקסימלי אם ורק אם הוא חוג פשוט, ובמקרה הקומוטטיבי זה שקול להיותו שדה.
  • באמצעות ההעתקה הטבעית מ- ל- ניתן להוכיח כי ישנם קשרים רבים בין האידאלים בחוגים אלו: ישנה התאמה 1-1 בין האידאלים ב- המכילים את לבין האידאלים של . יתר על כן, אם הוא אידאל ב- המכיל את , ו- היא התמונה שלו ב-, אז חוגי המנה ו- איזומורפיים. ולכן מתקיים ש- ראשוני/מקסימלי אם ורק אם מקסימלי/ראשוני.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הדוגמאות הקיצוניות ביותר של חוגי מנה מתקבלות מה"אידאלים הקיצוניים ביותר" בחוג - אידאל האפס והחוג כולו. לכל חוג מתקיים ו-. עובדות אלו מתאימות לכלל האצבע לפיו ככל שהאידאל "גדול יותר" כך החוג "קטן יותר".
  • בחוג המספרים השלמים , נסמן ב את האידאל המכיל את כל הכפולות של מספר שלם נתון . עבור מתקיים אם ורק אם ל- יש אותה שארית חלוקה ב-. לכן, חוג המנה מכיל איברים - מחלקות השקילות תחת יחס החלוקה: . מבנה זה מקבל מבנה של חוג המנה מפעולות החיבור והכפל במספרים השלמים, והופך לחוג בפני עצמו - זהו חוג בסיסי במתמטיקה.
  • בחוג הפולינומים מעל שדה המספרים הממשיים , יהי , האידאל המכיל את כל הכפולות של הפולינום . חוג המנה איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים. הסיבה לכך היא שהמחלקה של האיבר מקיימת ש , ולכן [x] הוא שורש ריבועי של מינוס אחד.
  • באופן יותר כללי, חוגי מנה משמשים לבניית שדות הרחבה. נניח כי הוא שדה וכי הוא פולינום אי פריק ב . המנה היא שדה המכיל את ושהאיבר שבו מקיים שהפולינום המינימלי שלו מעל שווה ל-.
  • שימוש חשוב בדוגמה האחרונה מתעורר בבעיית הבניה של שדות סופיים. לדוגמה, עבור , השדה בעל 3 איברים, הפולינום הוא אי-פריק מעל (שכן אין לו שורשים), וניתן לבנות את חוג המנה . זהו שדה עם איברים. כל שדה סופי ניתן לבניה בדרך זו תוך שימוש בשדות מסדר ראשוני ופולינום אי פריק מכל מעלה.
  • חוגי הקואורדינטות של יריעות אלגבריות מהווים דוגמה חשובה לחוגי מנה המופיעה בגאומטריה אלגברית. לדוגמה, עבור היריעה , ניתן לזהות את חוג הפונקציות הפולינומיות על היריעה עם חוג המנה , וזהו חוג הקואורדינטות של . ניתן ללמוד על הגאומטריה של על ידי חקירה של חוג זה.
  • נניח כי היא יריעה דיפרנציאלית וכי היא נקודה על . בחוג - חוג הפונקציות החלקות על , יהי האידאל של הפונקציות החלקות אשר מתאפסות בסביבה כלשהי של . חוג המנה נקרא חוג הנבטים של ב-. באמצעות חוג זה ניתן ללמוד על הגאומטריה של קרוב ל-.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]