חוג מנה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, חוג מנה הוא בניה בתורת החוגים הדומה לבניה של חבורות מנה בתורת החבורות. בהינתן חוג R ואידאל דו-צדדי I, ב- R בונים את חוג המנה R/I. מבחינה אינטואיטיבית, R/I מתקבל מ- R על ידי איפוס של כל איברי I.

בניית חוג המנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן חוג R ואידאל דו-צדדי I, ניתן להגדיר יחס שקילות \sim על R על ידי: a \sim b אם ורק אם b-a \in I, ואומרים כי a שקול ל-b מודולו I. מחלקת השקילות של איבר a ב-R נתונה על ידי: [a] = a + I = \{a+r:r\in I\}. מחלקה זו נקראת מחלקת השקילות של a מודולו I. את אוסף מחלקות השקילות מסמנים ב-R/I. קבוצה זו הופכת לחוג, חוג המנה R מודולו I על ידי הפעולות:

[a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]
[a] \cdot [b] = (a+I) \cdot (b+I) = a\cdot b + I = [a\cdot b]

מתכונת הבליעה של אידאל דו-צדיי נובע כי פעולות אלה מוגדרות היטב (כלומר - הן אינן תלויות בנציגים אשר נבחרים למחלקות השקילות). איבר האפס של R/I מוגדר להיות [0] = 0 + I = I ואיבר היחידה (ביחס לכפל) מוגדר להיות [1] = 1 + I. ביחס לפעולות ואיברים אלו, R/I הוא חוג. ההעתקה \rho:R\rightarrow R/I המוגדרת על ידי \rho(x) = [x] = x+I היא הומומורפיזם של חוגים, ומההגדרה של R/I נובע כי זהו הומומורפיזם על.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם R הוא חוג חילופי, ו-I הוא אידאל ב-R, אז גם R/I הוא חוג חילופי; ייתכן כי R/I הוא חילופי בעוד ש-R אינו.
  • הגרעין של ההעתקה הטבעית \rho:R\rightarrow R/I שווה ל-I. כיוון שהגרעין של הומומורפיזם של חוגים הוא תמיד אידאל (דו-צדדי), ניתן לומר כי אידאלים הם בדיוק גרעינים של הומומורפיזמים. ביתר כלליות, ההומומורפיזמים המוגדרים על חוג המנה R/I שקולים להומומורפיזמים של חוגים המוגדרים על R ואשר מתאפסים על I. ליתר דיוק, בהינתן אידאל דו-צדדי I בחוג R והומומורפיזם של חוגים f:R\rightarrow S אשר גרעינו מכיל את I, קיים הומומורפיזם יחיד g:R/I \rightarrow S כך ש g\circ \rho = f. ההעתקה g מוגדרת על ידי הכלל g([a]) = f(a).
  • כמסקנה מכך מתקבל משפט האיזומורפיזם עבור חוגים: כל הומומופריזם של חוגים f:R\rightarrow S משרה איזומורפיזם בין חוג המנה R/\ker(f) לתמונה Im(f).
  • באמצעות ההעתקה הטבעית מ-R ל-R/I ניתן להוכיח כי ישנם קשרים רבים בין האידאלים בחוגים אלו: ישנה התאמה 1-1 בין האידאלים ב-R המכילים את I לבין האידאלים של R/I. יתר על כן, אם J הוא אידאל ב-R המכיל את I, ו-J/I היא התמונה שלו ב-R/I, אז חוגי המנה R/J ו- (R/I)/(J/I) איזומורפיים. ולכן מתקיים ש-J ראשוני/מקסימלי אם ורק אם J/I מקסימלי/ראשוני.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הדוגמאות הקיצוניות ביותר של חוגי מנה מתקבלות מה"אידאלים הקיצוניים ביותר" בחוג - אידאל האפס והחוג כולו. לכל חוג R מתקיים R/\{0\}\cong R ו-R/R \cong \{0\}. עובדות אלו מתאימות לכלל האצבע לפיו ככל שהאידאל I "גדול יותר" כך החוג R/I "קטן יותר".
  • בחוג המספרים השלמים \mathbb{Z}, נסמן בn\mathbb{Z} את האידאל המכיל את כל הכפולות של מספר שלם נתון n. עבור x,y \in \mathbb{Z} מתקיים x-y \in n\mathbb{Z} אם ורק אם ל-x,y יש אותה שארית חלוקה ב-n. לכן, חוג המנה \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} מכיל n איברים - מחלקות השקילות תחת יחס החלוקה: \{[0],[1],\dots,[n-1]\}. מבנה זה מקבל מבנה של חוג המנה מפעולות החיבור והכפל במספרים השלמים, והופך לחוג בפני עצמו - זהו חוג בסיסי במתמטיקה.
  • שימוש חשוב בדוגמה האחרונה מתעורר בבעיית הבניה של שדות סופיים. לדוגמה, עבור F_3 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, השדה בעל 3 איברים, הפולינום f(x) = x^2+1 הוא אי-פריק מעל F_3 (שכן אין לו שורשים), וניתן לבנות את חוג המנה F_3[x]/\langle f\rangle . זהו שדה עם 3^2=9 איברים. כל שדה סופי ניתן לבניה בדרך זו תוך שימוש בשדות מסדר ראשוני ופולינום אי פריק מכל מעלה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]