חוג מנה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, חוג מנה הוא בניה בתורת החוגים הדומה לבניה של חבורות מנה בתורת החבורות. בהינתן חוג R ואידאל דו-צדדי I, ב-R בונים את חוג המנה R/I. מבחינה אינטואיטיבית, R/I מתקבל מ-R על ידי איפוס של כל איברי I.

בניה פורמלית של חוג המנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן חוג R ואידאל דו-צדדי I, ניתן להגדיר יחס שקילות ~ על R על ידי:

a~b אם ורק אם \,b-a \in I.

במקרה ש-a~b אומרים כי a שקול ל-b מודולו I. מחלקת השקילות של איבר a ב-R נתונה על ידי:

\,[a] = a + I = \{a+r:r\in I\}.

מחלקה זו נקראת מחלקת השקילות של a מודולו I.

את אוסף מחלקות השקילות מסמנים ב-R/I. קבוצה זו הופכת לחוג, חוג המנה R מודולו I על ידי הפעולות:

\,[a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]
\,[a] \cdot [b] = (a+I) \cdot (b+I) = a\cdot b + I = [a\cdot b]

מתכונות האידאל נובע כי פעולות אלה מוגדרות היטב (כלומר - הן אינן תלויות בנציגים אשר נבחרים למחלקות השקילות). איבר האפס של R/I מוגדר להיות \,[0] = 0 + I = I ואיבר היחידה (ביחס לכפל) מוגדר להיות \,[1] = 1 + I. ביחס לפעולות ואיברים אלו, R/I הוא חוג. ההעתקה \,\rho:R\rightarrow R/I המוגדרת על ידי \,\rho(x) = [x] = x+I היא הומומורפיזם של חוגים, ומההגדרה של R/I נובע כי זהו הומומורפיזם על.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדוגמאות הקיצוניות ביותר של חוגי מנה מתקבלות מה"אידאלים הקיצוניים ביותר" בחוג - אידאל האפס והחוג כולו. לכל חוג R מתקיים ש \,R/\{0\}\cong R ו-\,R/R \cong \{0\}. עובדות אלו מתאימות לכלל האצבע לפיו ככל שהאידאל I "גדול יותר" כך החוג R/I "קטן יותר". עבור אידאל I אשר מוכל ממש ב-R (כלומר \,I\ne R), החוג R/I לעולם לא שווה לחוג האפס.

בחוג המספרים השלמים \,\mathbb{Z}, נסמן ב\,2\mathbb{Z} את האידאל המכיל את כל המספרים הזוגיים. עבור שני מספרים שלמים x ו-y מתקיים \,x-y \in 2\mathbb{Z} אם ורק אם ל-x ול-y יש אותה זוגיות. לכן, חוג המנה \,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} מכיל שני איברים - איבר אחד שהוא נציג המספרים הזוגיים ואיבר נוסף שהוא נציג המספרים האי-זוגיים. חוג זה איזומורפי לשדה סופי בעל 2 איברים.

בחוג הפולינומים מעל שדה המספרים הממשיים \,\mathbb{R}[x], יהי \,I=\langle x^2+1\rangle, האידאל המכיל את כל הכפולות של הפולינום \,x^2+1. חוג המנה \,\mathbb{R}[x] / I איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים. הסיבה לכך היא שהמחלקה של האיבר [x] מקיימת ש \,[x]^2 + [1] = [x^2+1] = [0], ולכן [x] הוא שורש ריבועי של מינוס אחד.

באופן יותר כללי, חוגי מנה משמשים לבניית שדות הרחבה. נניח כי K הוא שדה וכי f הוא פולינום אי פריק ב \,K[x]. אז המנה \,L=K[x]/ \langle f\rangle היא שדה המכיל את K ושהאיבר \,[x] שבו מקיים שהפולינום המינימלי שלו מעל K שווה ל-f.

שימוש חשוב בדוגמה זו מתעורר בבעית הבניה של שדות סופיים. לדוגמה, עבור \,F_3 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, השדה בעל 3 איברים, הפולינום \,f(x) = x^2+1 הוא אי-פריק מעל \,F_3 (שכן אין לו שורשים), וניתן לבנות את חוג המנה \,F_3[x]/\langle f\rangle . זהו שדה עם \,3^2=9 איברים. כל שדה סופי ניתן לבניה בדרך דומה תוך שימוש בשדות הסופיים הראשוניים.

חוגי הקואורדינטות של יריעות אלגבריות מהווים דוגמה חשובה לחוגי מנה המופיעה בגאומטריה אלגברית. לדוגמה, עבור היריעה \,V=\{(x,y):x^2=y^3\} \subseteq \mathbb{R}^2, ניתן לזהות את חוג הפונקציות הפולינומיות על היריעה עם חוג המנה \,\mathbb{R}[x,y]/(x^2-y^3), וזהו חוג הקואורדינטות של V. ניתן ללמוד על הגאומטריה של V על ידי חקירה של חוג זה.

נניח כי M היא יריעה דיפרנציאלית וכי p היא נקודה על M. בחוג \,R=C^{\infty}(M) - חוג הפונקציות החלקות על M, יהי I האידאל של הפונקציות החלקות אשר מתאפסות בסביבה כלשהי של p. חוג המנה R/I נקרא חוג הנבטים של M ב-p. באמצעות חוג זה ניתן ללמוד על הגאומטריה של M קרוב ל-p.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם R הוא חוג חילופי, ו-I הוא אידאל ב-R, אז גם R/I הוא חוג חילופי, אך ייתכן כי R/I הוא חילופי בעוד ש-R אינו.

הגרעין של ההעתקה הטבעית \,\rho:R\rightarrow R/I שווה ל-I. כיוון שהגרעין של הומומורפיזם של חוגים הוא תמיד אידאל (דו-צדדי), ניתן לומר כי אידאלים הם בדיוק גרעינים של הומומורפיזמים.

ניתן לסכם את הקשר בין הומומופריזמים של חוגים, אידאלים וגרעינים על ידי: ההומומורפיזמים המוגדרים על חוג המנה R/I שקולים להומומורפיזמים של חוגים המוגדרים על R ואשר מתאפסים על I (כלומר - שולחים כל איבר ב-I ל-0). ליתר דיוק, בהינתן אידאל דו-צדדי I בחוג R והומומורפיזם של חוגים \,f:R\rightarrow S אשר גרעינו מכיל את I, קיים הומומורפיזם יחיד \,g:R/I\rightarrow S כך ש \,g\circ \rho = f (כאשר \,\rho:R\rightarrow R/I היא ההעתקה הטבעית). ההעתקה g מוגדרת על ידי הכלל \,g([a]) = f(a).

כמסקנה מכך מתקבל משפט האיזומורפיזם עבור חוגים: כל הומומופריזם של חוגים \,f:R\rightarrow S משרה איזומורפיזם בין חוג המנה \,R/\ker(f) לתמונה \,Im(f).

בחוג חילופי R מתקיים שאידאל I הוא ראשוני אם ורק אם חוג המנה R/I הוא תחום שלמות. יתר על כן, I הוא אידאל מקסימלי אם ורק אם חוג המנה R/I הוא שדה.

באמצעות ההעתקה הטבעית מ-R ל-R/I ניתן להוכיח כי ישנם קשרים רבים בין האידאלים בחוגים אלו: ישנה התאמה 1-1 בין האידאלים ב-R המכילים את I לבין האידאלים ב-R/I. יתר על כן, אם J הוא אידאל ב-R המכיל את I, ו-J/I היא התמונה שלו ב-R/I, אז חוגי המנה \,R/J ו- \,(R/I)/(J/I) איזומורפיים. בפרט, I הוא אידאל ראשוני אם ורק אם J/I הוא ראשוני, ו-I מקסימלי אם ורק אם J/I הוא מקסימלי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]