מונה קומפקטי חלש

בתורת הקבוצות, מונה קומפקטי חלש (Weakly Compact Cardinal) הוא סוג של מונה גדול. קיימות הגדרות רבות ושקולות לקומפקטיות חלשה: ניתן להגדיר מונה קומפקטי חלש על ידי תכונות קומבינטוריות, על ידי מונחים מתורת המודלים או באמצעות מונחי השתקפות.

מונה קומפקטי חלש הוגדר על ידי פול ארדש ואלפרד טרסקי בשנת 1961 במונחים קומבינטוריים. זמן קצר לאחר מכן, האנף (Hanf) וסקוט הוכיחו את השקילות בין ההגדרה הקומבינטורית של קומפקטיות חלש למושג ה-$\Pi _{1}^{1}$ אי-תאירות. בהמשך, האנף חקר לוגיקות אינסופיות והוכיח כי משפט הקומפקטיות החלש יכול לשמש כהגדרה אלטרנטיבית למונים קומפקטיים חלשים.

מונה קומפקטי חלש נחשב לקטן יחסית מבין המונים הגדולים - קיומו מתיישב עם אקסיומת הבנייה (V=L), ולכן הוא חלש יותר מ-0^#, ובפרט ממונה מדיד. מתחת למונה הקומפקטי-חלש הראשון יהיו מוני מאהלו רבים ובפרט אי נשיגים רבים.

לאורך הערך נניח כי קיום מונה קומפקטי חלש הוא עקבי ביחס ל-ZFC.

הגדרות קומבינטוריות

תכונת החלוקה

מונה κ, שאינו בן מניה, ייקרא מונה קומפקטי חלש אם κ מקיים את תכונת החלוקה f: κ → (κ) ² , כלומר, עבור כל פונקציה f: [κ] ² → {0, 1} x קיימת תת-קבוצה H של κ בעוצמה κ, כך ש-f קבועה על ²[H]. קבוצה H כזו נקראת הומוגנית.

נעיר כי כאשר κ=ω, תכונת החלוקה מתקיימת כמקרה פרטי של הגרסה האינסופית למשפט רמזי, ולכן הוספנו את הדרישה כי κ אינו בן מנייה.

אם היינו דורשים את מלוא הכח של משפט רמזי כלומר את תכונת החלוקה f: κ → (κ) ^{< ω} היינו מקבלים מונה רמזי. מונים כאלו הם גדולים יותר וקיומם אינו מתיישב עם V=L.

תכונת העץ

מונה κ הוא קומפקטי חלש אם ורק אם κ אי נשיג ומקיים את תכונת העץ: עבור כל עץ שגובהו κ ועוצמת כל אחת מהקומות שלו קטנה מ-κ, קיים ענף בגודל κ.

הדרישה ש-κ יהיה אי נשיג הכרחית כדי לקבל שקילות עם התכונה הקודמת. התקיימות תכונת העץ ב-$\omega _{2}$ היא עקבית (אם כי חוזק ההתיישבות שלה הוא של קיום מונה קומפקטי חלש).

תכונת אי תאירות

מונה κ הוא קומפקטי חלש אם ורק אם κ הוא $\Pi _{1}^{1}$- אי תאיר (בלתי ניתן לתיאור): עבור כל S ⊆ V_κ ועבור כל פסוק φ מסוג $\Pi _{1}^{1}$ שהוא אמיתי ב-(V_κ, ∈, S), קיים α < κ כך ש- φ אמיתי ב-(V_α, ∈, S ∩ V_α).

פסוק מסדר שני הוא $\Pi _{1}^{1}$ אם הוא מהצורה: $\forall X\phi (X)$ כאשר הכמת הכולל על X מכמת על פני כל תתי הקבוצות של המודל, והפסוק $\phi$ הוא פסוק מסדר ראשון שמשתמש ב-X כפרמטר (האינדקס העליון מייצג את סדר השפה, כאשר 0 מתאים ללוגיקה מסדר ראשון. האינדקס התחתון מייצג את מספר חילופי הכמתים מהסדר המקסימלי).

במובן הזה, לא ניתן לתאר את κ כמונה הראשון בו מתקיימת תכונה מסוימת ב-$V_{\kappa }$ (אפילו כאשר אנחנו מתירים שימוש בכמת כולל אחד מסדר שני ובפרמטר שמייצג קבוצה כלשהי) - תמיד יהיה סודר קטן יותר בו התכונה הזו מתקיימת במודל הקטום $V_{\alpha }$.

המונה הקומפקטי-חלש הראשון אינו $\Pi _{2}^{1}$ אי-תאיר, כי ניתן לתאר אותו על ידי המשפט "לכל פונקציה מאוסף הזוגות הלא סדורים ל־{0,1} קיימת תת-קבוצה הומוגנית".

קומפקטיות בשפות אינסופיות

ניתן לאפיין מונים קומפקטים חלשים בעזרת מונחים מתורת המודלים. מאפיינים אלו העניקו למונים את שמם.

בלוגיקה מסדר ראשון, משפט הקומפקטיות מבטיח לנו שלאוסף גדול כרצוננו של פסוקים, אם לכל תת-קבוצה סופית מתוכו יש מודל, אז יש מודל עבור האוסף המלא.

הלוגיקה הסטנדרטית מסדר ראשון לא מאפשרת נוסחאות באורך אינסופי. לכן למשל, לא ניתן לנסח בשפה של שדות סדורים את העובדה שכל מספר ממשי חסום על ידי מספר טבעי (כלומר שהשדה הממשי הוא ארכימדי), ובהתאם יש מודל לא ארכימדי שמקיים את כל המשפטים מסדר ראשון אותם מקיים השדה הממשי (אנליזה לא סטנדרטית מנצלת את העובדה הזו).

דרך אפשרית להרחבת השפה היא מעבר ללוגיקה $L_{\alpha ,\beta }$, בה אנחנו מתירים לכמת על פני סדרות באורך קצר מ-β של משתנים ולבצע גימום או אירור על פני סדרות נוסחאות באורך קצר מ-α. כאשר α,β הם ₀א (קרי: אָלֶף אֶפֶס) מדובר בלוגיקה הסטנדרטית מסדר ראשון, אך כאשר אנחנו עוברים למונים גדולים יותר - יכולת הביטוי עולה משמעותית: כאשר α,β הם לא בני מנייה ניתן לבטא למשל את מושג הארכימדיות.

משפט הקומפקטיות החלש הוא הדרישה הבאה על השפה L: אם Σ קבוצת פסוקים ב-L שעוצמתה אינה עולה על κ, וכל תת-קבוצה שלה בעוצמה קטנה מ-κ היא עקבית, אז קיים מודל לכל Σ.

אם κ מונה קומפקטי חלש, אז השפה $\,{\mathit {L}}_{{\kappa },\kappa }$ מקיימת את משפט הקומפקטיות החלש. כמו כן, כאשר κ אי נשיג, והשפה $\,{\mathit {L}}_{{\kappa },\omega }$ מקיימת את משפט הקומפקטיות החלש κ קומפקטי חלש (ניתן לראות זאת למשל באמצעות תכונת העץ).

ממשפט הקומפקטיות החלש נובע שיש מודל M שמקיים:

1. $V_{\kappa }$ הוא תת-מודל אלמנטרי של M (ביחס לשפה $\,{\mathit {L}}_{{\kappa },\kappa }$).
2. $\kappa \in M$

הבנייה של M נעשית כמו בהוכחה של משפט לוונהיים-סקולם העולה. כיוון שניתן לבטא ביסוס היטב (אי קיום סדרה יורדת אינסופית של סודרים) בשפה $\,{\mathit {L}}_{{\kappa },\kappa }$, נקבל כי M מבוסס היטב וניתן להניח כי הוא מודל טרנזיטיבי.

עובדה זו עומדת בבסיס תכונת אי-התאירות של מונים קומפקטיים חלש: נניח כי $V_{\kappa }\models \forall X\subset \kappa \,\,\phi (X)$.

לכן נקבל:

$M\models (\forall X\subset \kappa ,\,V_{\kappa }\models \phi (X))$

$M\models (\exists \alpha \forall X\subset \alpha ,\,V_{\alpha }\models \phi (X))$

ומהשקילות האלמנטרית:

$V_{\kappa }\models (\exists \alpha \forall X\subset \alpha ,\,V_{\alpha }\models \phi (X))$

אבל כיוון ש-κ אי נשיג, $V_{\kappa }$ מכיל את כל קבוצת החזקה של α (לכל $\alpha <\kappa$) ולכן מתקיים:

$\models \exists \alpha \in V_{\kappa }\forall X\subset \alpha ,\,V_{\alpha }\models \phi (X)$

ראו גם

• מונה קומפקטי חזק

לקריאה נוספת

• Set theory, third millennium edition - Thomas Jech, Springer 2002
• The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings, 2nd ed - Akihiro Kanamori, Springer 2003