בעיית ברנסייד

בעיית ברנסייד היא אחת הבעיות המפורסמות בתורת החבורות. הבעיה, הקרויה על-שם ויליאם ברנסייד , שואלת האם חבורה נוצרת סופית בעלת אקספוננט סופי היא בהכרח סופית. בניסוח כללי זה ידוע שהתשובה שלילית, ועם זאת גרסאות שונות של הבעיה עדיין מושכות תשומת לב רבה בין החוקרים בתחום. מדליית פילדס הוענקה ב1994 ליפים זלמנוב, במידה רבה בזכות הפתרון החיובי של בעיית ברנסייד המצומצמת (ראו להלן).

מבוא

חבורה היא נוצרת סופית אם יש קבוצה סופית, S, כך שכל איבר בחבורה הוא מכפלה באורך כלשהו של איברים מתוך S. בדרך כלל חבורה נוצרת סופית עשויה להיות אינסופית, והסיבה הפשוטה ביותר לכך היא שהיוצרים ב-S עשויים להיות בעלי סדר אינסופי בעצמם. למשל, החבורה הציקלית האינסופית נוצרת על ידי איבר אחד, ויש בה כמובן אינסוף איברים. ברנסייד שאל האם חבורה נוצרת סופית שבה לכל איבר יש סדר סופי מוכרחה להיות סופית. זוהי גרסה ראשונה של הבעיה:

• האם חבורה נוצרת סופית מפותלת, היא בהכרח סופית?

אפשר להגביל את החבורה מעט יותר, ולדרוש שכל איבר שלה יקיים את החוק $\ x^{e}=1$ (כלומר, אותו e עבור כל האיברים בחבורה). דרישה זו מובילה לגרסה שנייה:

• האם חבורה בת d יוצרים, שבה מתקיים החוק $\ x^{e}=1$, היא בהכרח סופית?

את החבורה הנוצרת על ידי d יוצרים, שבה מתקיים רק החוק $\ x^{e}=1$ ומסקנותיו, מסמנים ב-$\ B(d,e)$ - זוהי חבורת ברנסייד עם d יוצרים מאקספוננט e. הגרסה השנייה שקולה, אם כך, לשאלה האם $\ B(d,e)$ סופית.

תשובות חיוביות ושליליות

קל להראות שהחבורות $\ B(d,2)$ סופיות. במעט יותר מאמץ אפשר להוכיח ש-$\ B(d,3)$ ו-$\ B(d,4)$ סופיות (אכן, הסדר של חבורות אלו ידוע).

מאידך, Golod-Shafarevitc נתנו ב-1964 תשובה שלילית לבעיה בנוסחה הראשון (ראו גם בעיית קורוש). ב-1968 הראו Novikov ו-Adian שאם e גדול מספיק, החבורות $\ B(d,e)$. אינן סופיות. תוצאות אלו משאירות טווח רחב שבו התשובה אינה ידועה. לא ידוע, למשל, האם החבורות $\ B(2,5)$ ו- $\ B(2,8)$ סופיות או אינסופיות.

בעיית ברנסייד המצומצמת

גם אם החבורה $\ B(d,e)$ אינסופית, אפשר לשאול האם יש לה מנה סופית גדולה ביותר, או שמא יש לה מנות סופיות מסדר גדל והולך. זוהי בעיית ברנסייד המצומצמת:

• האם יש ל-$\ B(d,e)$ מנה סופית גדולה ביותר?

(בניסוח שקול: האם המנה ה-residually finite של $\ B(d,e)$ היא סופית?). ב-1990 הראה זלמנוב שהתשובה חיובית. אם כך, אפשר להגדיר את החבורה $\ RB(d,e)$ כמנה הסופית הגדולה ביותר של $\ B(d,e)$. ידוע שהסדר של $\ RB(2,5)$ הוא $\ 5^{48}$; שהסדר של $\ RB(3,5)$ הוא $\ 5^{2282}$; ושהסדר של $\ RB(2,7)$ הוא $\,7^{20416}$. [fr:Problème de Burnside]]