גוף סיבוב

בגאומטריה של המרחב, גוף סיבוב הוא הגוף הנוצר על ידי סיבוב משטח מסביב לישר (שנקרא ציר הסיבוב) שמונח על אותו מישור. לדוגמה, אם נסובב עיגול סביב ישר העובר דרך מרכזו נקבל כדור.
לפעמים נוהגים להשתמש במונח "גופי סיבוב" גם לתאר משטחים הנוצרים על ידי סיבוב עקומה, אך חשוב להבדיל בין השניים; בעוד שגוף סיבוב הוא צורה תלת-ממדית, משטח סיבוב הוא יריעה דו-ממדית.

נפח גוף סיבוב

נפח גוף הסיבוב המתקבל על ידי סיבוב השטח הכלוא בין הפונקציה $f(x)$ לציר ה-$x$ ולישרים $x=a$ ו-$x=b$ מסביב לציר ה-$x$ הוא:
$V=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx$
ההסבר לנוסחא הוא שבכדי לחשב את הנפח של גוף הסיבוב, נבנה צורה הדומה לו על ידי ערימת אוסף של דיסקות. מכך שנפחה של דיסקית נתון על ידי הנוסחא $\pi r^{2}h$ (כאשר $r$ הוא רדיוס הדיסקה, ו-$h$ הוא גובהה) ושרדיוס כל דיסקה שווה בקירוב לערך הפונקציה בסביבתו, נקבל את הנוסחא המבוקשת.

מקרה מיוחד שראוי לציון הוא של נפח גוף הסיבוב המתקבל על ידי סיבוב השטח הכלוא בין הישרים $x=a$ , $x=b$ ושתי פונקציות - $f$ ו-$g$ מסביב לציר ה-$x$. נוכל לעשות זאת על ידי חיסור נפח גוף הסיבוב של הצורה הפנימית מהחיצונית ונקבל שהנוסחה היא:
$V=\pi \int _{a}^{b}\vert f^{2}(x)-g^{2}(x)\vert \,dx$

שטח גוף סיבוב

שטחו החיצוני של גוף הסיבוב הנוצר על ידי סיבוב השטח הכלוא בין הפונקציה $f(x)$ לציר ה-$x$ ולישרים $x=a$ ו- $x=b$ מסביב לציר ה-$x$ הוא:
$A=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left(f'(x)\right)^{2}}}\,dx$