מישור (גאומטריה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בגאומטריה, מישור הוא מושג יסודי, המשקף את העצם הדו-ממדי הבסיסי. ניתן לדמיין מישור כפיסת נייר אינסופית לכל הכיוונים.

שני מישורים החותכים זה את זה

חלק גדול מן הגאומטריה, הטריגונומטריה ותורת הגרפים הוא דו-ממדי, כלומר, עוסק במישור.

המישור הוא מושג יסודי בגאומטריה האוקלידית וגם בגאומטריות אחרות. בהמשך מדובר במישור במסגרת הגאומטריה האוקלידית.

בהינתן מישור, ניתן להשליך עליו מערכת צירים קרטזית כדי להיות מסוגלים לציין כל נקודה במישור בעזרת שני ערכים - הקוארדינטות של הנקודה. ניתן לעשות דבר דומה עם מערכת צירים קוטבית, שבה כל נקודה מזוהה על ידי שני ערכים - זווית ומרחק מהמרכז.

הצגות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצגה אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במערכת צירים תלת ממדית \ z-\ y-\ x, אפשר להגדיר מישור כמקום הגאומטרי של כל פתרונות המשוואה \ ax+by+cz+d=0, כאשר \ a, \ b, \ c ו-\ d הם מספרים ממשיים ולא כל המקדמים שווים לאפס. אפשר לכתוב גם \ \mathbf{a}\cdot\mathbf{x} +d = 0, כאשר \ \mathbf{a} הוא הווקטור \ (a,b,c) (שלמעשה מהווה הנורמל של המישור) ו-\ \mathbf{x} הוא הווקטור \ (x,y,z).

הצגה פרמטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהצגה פרמטרית מגדירים מישור באמצעות נקודה על המישור וצירוף לינארי של שני וקטורים הפורשים את המישור

אפשר לתאר מישור גם באופן פרמטרי (הגדרה כזאת טובה לכל מרחב n ממדי) כקבוצת כל הנקודות מהמשוואה \ \mathbf{x}=\mathbf{u}+t\mathbf{v}+s\mathbf{w} כש-\ t ו-\ s הם סקלרים היכולים לקבל את כל ערכי הממשיים, \ \mathbf{u} הוא וקטור הקובע נקודה על המישור, ו-\ \mathbf{v} ו-\ \mathbf{w} הם וקטורים הפורשים את המישור (בתנאי שאין סקלר \ r המקיים \ r\mathbf{w}=\mathbf{v} , כי אחרת המשוואה תתאר ישר ולא מישור).

הצגות אלה מאפשרות לחשב בקלות תכונות של המישורים המתוארים, בדומה למצב בישרים. לדוגמה, המרחק של נקודה \ (x_0,y_0,z_0) מן המישור \ ax+by+cz+d=0 הוא \ \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

דרך נוספת להצגת מישור במרחב \ n ממדי היא כצירוף של \ n-2 משוואות לינאריות.

דרכי הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להגדיר מישור מסוים על ידי הצירופים הבאים:

  • שלוש נקודות שאינן על ישר אחד
  • ישר ונקודה שאינה עליו
  • נקודה וישר שהוא הנורמל למישור
  • שני ישרים הנחתכים בנקודה או המקבילים זה לזה

במרחב תלת ממדי, שני מישורים יכולים להיות מקבילים זה לזה או לחתוך זה את זה בישר. הזווית בין שני המישורים נקראת זווית דו-מישור. ישר שאינו מקביל למישור נתון חותך את המישור הזה בנקודה אחת.