עקביות (לוגיקה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־23:46, 20 באוקטובר 2006

ערך זה עוסק בעקביות בלוגיקה. אם התכוונתם לעקביות בתחומים אחרים, ראו עקביות.

עקביות (או- קונסיסטנטיות, קוהרנטיות) הוא מושג בלוגיקה ומתמטיקה המציין שאין סתירה במערכת מסוימת. סתירה במערכת הנחות של השערה או טיעון תביא להטלת ספק בנכונות המסקנה הנגזרת מהם.

קונסיסטנטיות לוגית

קבוצת משפטים תקרא קבוצה קונסיסטנטית אם כל המשפטים בה יכולים להיות אמיתיים במקביל.

ישנו קשר בין עקביות לתקפות של טיעון. ניתן להגדיר את מושג התקפות על ידי שימוש במושג העקביות: טיעון יהיה תקף אם בכל מצב בו כל ההנחות יכולות להיות אמיתיות- גם המסקנה תהיה אמיתית. בהתאם, ניתן להפריך טיעון על ידי הוכחה שיתכן מצב בו ההנחות ושלילת המסקנה יהיו קבוצה עקבית.

הוכחת חוסר העקביות של קבוצת הנחות יכולה לשמש להפרכת טיעון המתבסס עליהן, אך אינה מעידה בוודאות על היותה של המסקנה שקרית, רק על כך שהדרך בה הגיע מנסח הטיעון למסקנה אינה לוגית.

עקביות מתמטית

מערכת אקסיומות נקראת עקבית אם אין בה סתירה. בכדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא מודל שמקיים את כל אקסיומות המערכת (אם במערכת יש סתירה אז ברור כי לא קיים מודל שממלא אחר כל האקסיומות שלה). ראוי לציין שישנן מערכות אקסיומות עקביות כך שלא קיים מודל שמקיים אותן, בכדי להוכיח כי מערכות אלו עקביות צריך להשתמש בכלים מתמטיים חזקים יותר מאשר מציאת מודל.

מכיוון שאפשר לפתח תאוריות מורכבות ביותר על סמך כמה ממערכות האקסיומות המורכבות יותר, נוצר קושי לבדוק, במערכת אקסיומות נתונה, את מידת העקביות של המערכת. השאלה אם אפשר להוכיח, על פי האקסיומות הנתונות במערכת מסוימת, את עקביותה שלה, היא שאלה שנדונה רבות על ידי מתמטיקאים.

ראו גם

תורה (לוגיקה מתמטית)

@@ שורה 11: / שורה 11: @@
 הוכחת [[חוסר עקביות|חוסר העקביות]] של קבוצת הנחות יכולה לשמש להפרכת טיעון המתבסס עליהן, אך אינה מעידה בוודאות על היותה של המסקנה שקרית, רק על כך שהדרך בה הגיע מנסח הטיעון למסקנה אינה לוגית.
-==קונסיסטנטיות מתמטית==
+==עקביות מתמטית==
-מערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] נקראת קונסיסטנטית אם אין בה סתירה.
+מערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] נקראת עקבית אם אין בה סתירה.
 <!--למשל מערכת האקסיומות הבאה:
@@ שורה 22: / שורה 22: @@
 ג. ישנם לפחות 8 קבוצות שונות.
-אינה קונסיסטנטית משום שיש בה סתירה:
+אינה עקבית משום שיש בה סתירה:
 אם ישנם 3 מספרים שונים בדיוק, נניח A,B ו-C, אז יתכנו רק 7 קבוצות אפשריות והן -
@@ שורה 31: / שורה 31: @@
 והוכחנו שמספר הקבוצות השונות הוא לכל היותר 7, בסתירה לאקסיומה ג' שאומרת כי יש 8 קבוצות שונות לכל הפחות.-->
-בכדי להוכיח שמערכת היא קונסיסטנטית מספיק למצוא מודל שמקיים את כל אקסיומות המערכת (אם במערכת יש סתירה אז ברור כי לא קיים מודל שממלא אחר כל האקסיומות שלה).
+בכדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא [[מודל]] שמקיים את כל אקסיומות המערכת (אם במערכת יש סתירה אז ברור כי לא קיים מודל שממלא אחר כל האקסיומות שלה).
 <!--לדוגמה למערכת האקסיומות:
@@ שורה 40: / שורה 40: @@
 ג. N ו- M שניהם מספרים זוגיים
-קיים מודל והוא ששני המספרים הם 2 ו-4. ומכאן נובע שהמערכת הינה קונסיסטנטית.-->
+קיים מודל והוא ששני המספרים הם 2 ו-4. ומכאן נובע שהמערכת הינה עקבית.-->
-ראוי לציין שישנן מערכות אקסיומות קונסיסטנטיות כך שלא קיים מודל שמקיים אותן, בכדי להוכיח כי מערכות אלו קונסיסטנטיות צריך להשתמש בכלים מתמטיים חזקים יותר מאשר מציאת מודל.
+ראוי לציין שישנן מערכות אקסיומות עקביות כך שלא קיים מודל שמקיים אותן, בכדי להוכיח כי מערכות אלו עקביות צריך להשתמש בכלים מתמטיים חזקים יותר מאשר מציאת מודל.
 מכיוון שאפשר לפתח תאוריות מורכבות ביותר על סמך כמה ממערכות האקסיומות המורכבות יותר, נוצר קושי לבדוק, במערכת אקסיומות נתונה, את מידת העקביות של המערכת. השאלה אם אפשר להוכיח, על פי האקסיומות הנתונות במערכת מסוימת, את עקביותה שלה, היא שאלה שנדונה רבות על ידי מתמטיקאים.