נקודת פיתול

במתמטיקה ובעיקר באנליזה מתמטית, נקודת פיתול של פונקציה היא נקודה שבה הפונקציה הופכת מקמורה לקעורה, או להפך.

אם בנקודה כלשהי הנגזרת השנייה של פונקציה היא 0, היא "חשודה" כנקודת פיתול. (מאחר שמצידה האחד של נקודת פיתול, נגזרתה השניה חיובית, ומצידה השני נגזרתה השניה שלילית, הרי שלפי משפט דארבו, נגזרתה השניה באותה הנקודה בהכרח 0)

ניתן לבדוק האם הפונקציה עוברת מקמירות לקעירות בצורה ישירה על-ידי בדיקת הסימן של הנגזרת השנייה משני צידי הנקודה, (החלפת הסימן גוררת שזוהי נקודת פיתול) או להמשיך לגזור את הפונקציה עד שמגיעים לנגזרת הראשונה שערכה בנקודה אינו אפס. אם זוהי נגזרת מסדר לא זוגי, הרי שהנקודה היא נקודת פיתול, ואם היא מסדר זוגי, הנקודה אינה נקודת פיתול.

דוגמא

נביט בפונקציה $\ f(x)=x^{3}$. נגזרותיה הן:

$\ f'(x)=3x^{2},f''(x)=6x,f'''(x)=6$.

מתקיים $\ f''(0)=0$, ומאחר שהפונקציה גזירה פעמיים בישר הממשי כולו, נקודת הקיצון האפשרית היחידה של הפונקציה היא בנקודה זו. כמו כן מתקיים $\ f'''(0)=6$, והנגזרת השלישית היא הנגזרת הראשונה שערכה בנקודה שונה מאפס. כיוון שנגזרת מסדר אי זוגי, הנקודה היא אכן נקודת פיתול.

לעומת זאת, נביט כעת בפונקציה $\ f(x)=x^{4}$ שנגזרותיה הן:

$\ f'(x)=4x^{3},f''(x)=12x^{2},f'''(x)=24x,f''''(x)=24$.

במקרה זה, הנגזרת הראשונה שערכה בנקודה $\ x=0$ שונה מאפס היא הרביעית, ולכן, הנקודה 0 אינה נקודת פיתול.