מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
מספרי אוילר הם המקדמים בפיתוח לטור טיילור של פונקציית סקאנט היפרבולי (אחד חלקי הקוסינוס ההיפרבולי):
![{\displaystyle {\text{sech}}(t)={\frac {1}{\cosh(t)}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651410f6ff99f2a4af1a080e868cffc5e957046d)
ניתן לחשב את המקדמים על ידי נוסחת הנסיגה:
,
ובקירוב:
- סקאנט:
![{\displaystyle \sec(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad :|x|<{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6916bf30c3efb1c4e44923b851f6926ded772bd4)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln(x)^{n}}{1+x^{2}}}dx=|E_{n}|\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96e1e1386b566fdaf17a499a8e8542199984d6f8)
מכיוון שהקוסינוס ההיפרבולי הוא פונקציה זוגית, המקדמים האי-זוגיים הם אפס. עשרת המקדמים הזוגיים הראשונים מופיעים להלן:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&E_{0}=1\\&E_{2}=-1\\&E_{4}=5\\&E_{6}=-61\\&E_{8}=1385\\&E_{10}=-50521\\&E_{12}=2,702,765\\&E_{14}=-199,360,981\\&E_{16}=19,391,512,145\\&E_{18}=-2,404,879,675,441\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58004a4116b142f2a31c35e12e948049d74113db)