טור טיילור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

פונקציית האקספוננט (בכחול) ופיתוח טיילור של הפונקציה בנקודה אפס שמתכנס לפונקציה ככל שסדר הפיתוח עולה (באדום).
פיתוח טיילור חלקי לפונקציית הקוסינוס, מסדר ראשון עד סדר שישי

טור טיילור הוא טור חזקות המקרב פונקציה, באופן מקומי או בכל תחום הגדרתה. המקדמים של אברי הטור מחושבים על ידי כל הנגזרות של הפונקציה (מכל סדר שהוא) בנקודה מסוימת \ x_0 שנקראת נקודת הפיתוח של הטור. תנאי הכרחי ומספיק לקיום טור טיילור עבור פונקציה בנקודת פיתוח מסוימת הוא שהפונקציה תהיה גזירה מכל סדר (אינסוף פעמים) באותה הנקודה. במידה שטור הטיילור של הפונקציה שווה לה בסביבה מסוימת (כלומר, ניתן לתאר את הפונקציה בעזרת טור טיילור שלה) יהיה ניתן להסתפק במספר סופי של איברים מהטור (כלומר בפולינום) כדי לקבל קירוב כרצוננו של הפונקציה (לפחות באותה הסביבה של נקודת הפיתוח). לכן, במקרה כזה אפשר לקרב פונקציה מסובכת על ידי שימוש בפונקציה פשוטה.

היתרון העיקרי של טור טיילור הוא האפשרות לחשב את הערכים של פונקציות מסובכות (כגון סינוס) באמצעות פעולות חיבור ופעולות כפל בין מספרים ממשיים, פעולות שניתנות לחישוב מדויק, שכן אנו משתמשים בפולינומים שהם הפונקציות הפשוטות ביותר שקיימות למטרה כזו.

נקודה זו העסיקה מתמטיקאים כמו ברוק טיילור וקולין מקלורן. שאיפתם הייתה לנסות ולקרב פולינומים לפונקציות כמו האקספוננט, הלוגריתם והקוסינוס, ועל ידי כך לחשב את ערך הפונקציות בקלות בכל נקודה מבוקשת, לגזור אותן בקלות, וכדומה. כדי לבצע קירוב זה, מנסים למצוא את הפולינום שקרוב מספיק לפונקציה בתחום מסוים, כזה שאת ההפרש (השגיאה) בינו לבין הפונקציה עצמה ניתן להקטין כרצוננו, כך שההבדל בין הפונקציה לפולינום ילך ויהפוך זניח. את המטרה הזו משרתים טורי טיילור, שמתברר כי הפולינומים שמרכיבים אותם מוגדרים באופן יחיד לכל פונקציה ולקירוב מכל סדר. הטור נקרא על שמו של ממציאו ברוק טיילור. טור טיילור המפותח בנקודה \ x_0 = 0 נקרא טור מקלורן (הדמיון בין שם זה לשמו של טור לורן, שהוא הכללה של טור טיילור, הוא מקרי).

טור הטיילור (המפותח בנקודה מסוימת \ x_0) מתכנס לפונקציה (כלומר, שווה לה) בסביבה מסוימת של \ x_0 אם ורק אם סדרת השאריות שבפיתוח טיילור של הפונקציה אפסה בכל נקודה בסביבה הנ"ל. במקרה כזה, נאמר שהפונקציה היא אנליטית בנקודה \ x_0. גישה נוספת לחשוב על טור טיילור היא כעל הכללה של הקירוב הלינארי (קירוב מסדר ראשון) \ f(x)= f(x_0) + f'(c) ( x - x_0 ) \approx f(x_0) + f'(x_0) ( x - x_0 ) שמתקבל על ידי משפט הערך הממוצע של לגראנז'.

אינטואיציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

טור טיילור מאפשר לחשב פונקציה על פי התנהגות הפונקציה בנקודה מסוימת.

נביט, לדוגמה, בפונקציה \ f(t) המתארת את מיקומה של מכונית כפונקציה של הזמן, t. אם ידוע המיקום של המכונית בזמן מסוים, כלומר אם אנחנו יודעים את הערך של \ f(t_0), אז הקרוב הבסיסי ביותר הוא שזהו המיקום של המכונית בכל זמן שהוא, כלומר f(t)\simeq f(t_0). הקרוב הזה מדויק אם המכונית חונה, כלומר אם המהירות שלה היא אפס, והתאוצה שלה אפס, והתאוצה שלה אינה משתנה.

הקירוב הבא למיקומה של המכונית הוא זה שמתחשב במהירות המכונית. הביטוי המתמטי למהירות הוא הנגזרת של פונקציית המיקום בזמן: \ f'(t)=v, ואם מתחשבים במהירות המכונית מקבלים קירוב מסדר ראשון למיקום המכונית: \ f(t)=f(t_0)+v(t-t_0). קירוב זה הוא מדויק במידה והמהירות של המכונית קבועה, כלומר התאוצה שלה היא אפס. באופן מתמטי פירושו של דבר שהנגזרות מסדרים גבוהים מאחד (הנגזרת מסדר אחד היא המהירות) מתאפסות כולם.

באופן דומה אפשר להמשיך ולהכניס תיקונים לפונקציית המיקום של המכונית המתחשבים בסדרים גבוהים יותר: התיקון מסדר שני מתייחס לתאוצה של המכונית, התיקון מסדר שלישי מתייחס לקצב שבו התאוצה משתנה וכך הלאה.

מבחינה מתמטית, המשמעות של טור טיילור היא שניתן לשחזר באופן מלא התנהגות של פונקציה אם יש לנו מידע מלא על ההתנהגות שלה בנקודה מסוימת - כלומר אם ידועות לנו הנגזרות של הפונקציה מכל סדר שהוא בנקודה.

בבעיות פיזיקליות לעתים קרובות התרומה העיקרית להתנהגות פונקציה מגיעה מהאיברים הראשונים בטור - ולכן אפשר להזניח איברים הגבוהים יותר. כך לדוגמה חוק הוק הקובע שהכח שמפעיל קפיץ פרופורציונלי לאורך המתיחה של הקפיץ, למעשה איננו מתאר במדויק את התנהגותם של קפיצים אמיתיים, הוא רק קירוב מסדר ראשון, קירוב לינארי להתנהגות זו, אך במקרים רבים קירוב זה טוב מספיק. הקירוב מסדר שני, שגם בו נעשה שימוש רב בפיזיקה, נקרא הקרוב ההרמוני.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

טור טיילור של פונקציה ממשית במשתנה יחיד \ f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, הגזירה אינסוף פעמים סביב הנקודה \ x=x_0, הוא טור החזקות


f(x) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0)
 + \frac 12 f''(x_0)\cdot(x-x_0)^2
 + \frac 16 f^{(3)}(x_0)\cdot(x-x_0)^3 + ...
 + \frac 1{n!} f^{(n)}(x_0) (x-x_0)^n + 
...,

ובקצרה

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0)^n}{n!}}

כאשר \ f^{(n)}(x_0) = \left. \frac{d^n f}{dx^n}\right|_{x=x_0} ואנו מסכימים שעבור \ n = 0 מתקבל \ f^{(0)}(x_0)\frac{(x-x_0)^0}{0!} = f(x_0).

פונקציה גזירה אינסוף פעמים שטור טיילור שלה מתכנס, אבל אינו מייצג אותה באף קטע

טור טיילור מוגדר, כאמור, כאשר הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בנקודה. עבור הפונקציות האלמנטריות אקספוננט, סינוס וקוסינוס, הטור מתכנס בכל הישר. מאידך, ייתכן שהטור יתכנס רק בקטע מסוים (עם או בלי קצות הקטע). אם הטור מתכנס אל הפונקציה בקטע פתוח כלשהו, היא נקראת אנליטית.

לא תמיד טור טיילור של פונקציה מתכנס אליה, גם אם היא גזירה אינסוף פעמים. לדוגמה, הפונקציה \ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}} (עם \ f(0)=0, כמובן), שהגרף שלה מוצג משמאל, גזירה אינסוף פעמים על כל הישר, וערכי הנגזרות באפס הם אפס, כך שטור טיילור שלה מתכנס זהותית לאפס, למרות שהפונקציה מקבלת ערך זה רק בנקודה אחת.

בהכללה לממד \ d, פונקציה ב-\ d משתנים סביב הנקודה \ (a_1,\dots,a_d) ניתן למציאה באמצעות הפעלת כלל השרשרת על המקרה החד ממדי, והוא:


f(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infty} \cdots
\sum_{n_d=0}^{\infty} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}}
\cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}}
f(a_1,\cdots,a_d)\frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots
(x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הטור מהווה כלי חשוב באנליזה נומרית על מנת להעריך את ערכה הנומרי של פונקציה על ידי חישוב סדרת חזקות בלבד. שימוש בטור טיילור הוא אחת הדרכים בה יכולים מחשבים להחזיר ערכים מספרים של פונקציות דוגמת סינוס, אם כי ישנן שיטות קירוב נוספות, שחלקן יעילות יותר במקרים מסוימים. עם זאת, לטור טיילור, פרט לחשיבותו בחישובים מספריים יש גם חשיבות תאורטית רבה בזכות העובדה שהוא מתאר פונקציה שיכולה להיות מסובכת באמצעות טור של פונקציות פשוטות. נוסחת אוילר, לדוגמה, מוכחת באמצעות פיתוח טיילור של פונקציית האקספוננט.

אם טור טיילור של פונקציה מתכנס בכל הישר הממשי, הוא מאפשר להרחיב את ההגדרה של הפונקציה לכל אלגברת סי כוכב. למשל באופן זה ניתן להגדיר את האקספוננט של מטריצה ממשית או מרוכבת.

חישובי שארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

לאחר חישוב הסכום של מספר סופי של איברים בטור טיילור של פונקציה, עדיין קיים לרוב הפרש בין ערך הפונקציה בנקודה שבה מחשבים את הטור ובין הסכום שהתקבל. לכן פותחו מספר נוסחאות שמיועדות לתת הערכה של גודל השארית. זו הערכה בלבד ולא מספר מדויק - הרי אם היינו יודעים בכמה בדיוק הסכום שלנו רחוק מערך הפונקציה, היינו יודעים מהו ערך הפונקציה.

שתי צורות מקובלות להערכת השארית הן השארית לפי לגראנז' והשארית לפי קושי. צורות הערכה אלו מניחות כי אם הקירוב נעשה עד האיבר ה-n בטור טיילור, הפונקציה צריכה להיות גזירה n+1 פעמים. הביטוי של השארית המתקבלת לאחר סכימת \ n איברים בצורת לגראנז' הוא בדיוק \ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}, ובצורת קושי הוא בדיוק \ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n)!}\cdot (x-x_0)\cdot(x-c)^{n}, כאשר בשתי הצורות \ c היא נקודה לא ידועה ששייכת לקטע שבין \ x_0 ל-\ x. מכיוון שאיננו יודעים בדיוק מהי נקודת ביניים זו, איננו יכולים לדעת במדויק את גודל השארית אלא רק להעריכה. הערכות השארית בצורה זו נובעת ממשפט הערך הממוצע של לגראנז' או באופן שקול מההכללה שלו - משפט הערך הממוצע של קושי.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפיתוח הלא טריוויאלי הפשוט ביותר של טור טיילור הוא של פונקציית האקספוננט, \ e^x סביב הנקודה \ x_0 = 0. פשטות הפיתוח נובעת מכך שנגזרת האקספוננט היא הפונקציה עצמה, ולכן כל הנגזרות בנקודה \ x_0 = 0 הן \ e^0=1. על ידי הצבה בנוסחה מקבלים מיידית את הטור הבא: \ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}. את השוויון ניתן לכתוב משום שפונקציית האקספוננט היא אנליטית, ולכן טור טיילור שלה מתכנס אליה.

טורי טיילור ומקלורן של פונקציות נפוצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

להלן מספר טורי טיילור ומקלורן של פונקציות נפוצות. כל הפיתוחים נכונים גם עבור ארגומנטים מרוכבים. כמקובל, \ x^0 מקבל את הערך 1 לכל x.

כאשר \,B_n ו-\,E_n הם מספרי ברנולי ומספרי אוילר בהתאמה.

טור טיילור במספר משתנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להכליל את טורי טיילור לפונקציות של יותר ממשתנה אחד באמצעות

T(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}
\frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}}
\frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}\!

לדוגמה, עבור פונקציה התלויה בשני משתנים, \,x ו-\,y, טור טיילור מסדר שני סביב הנקודה \,(a,b) יהיה:

f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) +
+ \frac{1}{2!}\left[ f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2 \right]\!

כאשר הסימון \,f_{xy} מציין גזירה חלקית לפי המשתנה \,x ולאחריו לפי המשתנה \,y (או להפך), ואילו הסימונים \,f_{xx},f_{yy} מציינים גזירה חלקית פעמיים לפי אחד מהמשתנים.

את פיתוח טיילור מסדר שני של פונקציה סקלרית של יותר ממשתנה אחד ניתן לרשום בצורה קומפקטית כך:

T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \mathrm{D} f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \mathrm{D}^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots\!

כאשר D f(\mathbf{a})\! הוא הגרדיאנט ו-D^2 f(\mathbf{a})\! היא מטריצת הסיאן.

באמצעות סימון מרובה אינדקסים ניתן לרשום את פיתוח טיילור עבור מספר משתנים כך:

T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{\mathrm{D}^{\alpha}f(\mathbf{a})}{\alpha!}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}\!

באנלוגיה מלאה למקרה הפרטי של משתנה אחד.

במדעי המחשב[עריכת קוד מקור | עריכה]

קירוב סינוס על ידי טור טיילור בשפת C‎

קירוב סינוס על ידי טור טיילור בשפת C‎ מהצורה \sin(x) = \sum_{i = 0}^{\infty}\left[ \frac{(-1)^i}{(2i + 1)!} x^{2i + 1} \right] הוא:

float taylor_sin(float angle)
{
 unsigned int i; 
 float sinus = 0;
 int sign = 1;
 unsigned long int factorial = 1;
 float power;
 
 power = angle;
 
 for(i = 0; i < 10; ++i)
 {
  sinus += sign * power / factorial;
 
  sign = -sign;
  factorial *= (2 * i + 2) * (2 * i + 3);
  power *= angle * angle;
 }
 
 return(sinus);
}

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]