פיתול (אלגברה)

באלגברה, פיתול הוא התכונה של איברים במודול להגיע אל איבר האפס אם מכפילים אותם בגורם מתאים. בחבורה, איבר מפותל הוא איבר בעל סדר סופי, וחבורה נקראת חסרת פיתול אם אין בה איברים כאלה.

כשהחבורה $A$ אבלית, אוסף האיברים המפותלים מהווה תת חבורה הנקראת "תת-חבורת הפיתול" של $A$. במקרה כזה, חבורת המנה חסרת פיתול.

חבורה אבלית אינה אלא מודול מעל חוג המספרים השלמים, ולכן אפשר להכליל מושגים אלה לכל מודול. איבר $x$ של מודול $M$ מעל חוג $R$ נקרא איבר מפותל אם קיים $r\neq 0$ בחוג, שאינו מחלק-אפס, כך ש-$rx=0$. המודול מפותל אם כל האיברים שלו מפותלים, וחסר פיתול אם אין לו איברים כאלה. לדוגמה, כל מודול חופשי הוא חסר פיתול. המודול הוא נאמן אם לא קיים גורם פיתול משותף, כלומר איבר $r\neq 0$ בחוג כך ש-$rM=0$. מעל תחום שלמות, כל מודול חסר פיתול הוא נאמן (מאידך מעל חוג קומוטטיבי מקומי כל מודול הוא חסר פיתול, בעוד שמנות של החוג אינן נאמנות). מעל תחום ראשי מודול חסר פיתול הוא חופשי (ומעל תחום בזו, מודול נוצר סופית חסר פיתול הוא חופשי).

מעל חוג קומוטטיבי, האוסף $t(M)$ של איברים מפותלים במודול $M$ מהווה תת-מודול. אם החוג הוא תחום שלמות, מודול המנה $M/t(M)$ חסר פיתול, ולכן מעל תחומי שלמות מהווה תת-המודול של האיברים המפותלים מעין רדיקל של מודולים. במקרה הלא קומוטטיבי נדרשות הנחות נוספות כדי להבטיח שאוסף האיברים המפותלים יהיה תת-מודול; למשל, זה המצב אם החוג מקיים את תנאי אור.

בתורת החוגים חוקרים גם פיתול יחסי. בהינתן חוג $A$ ואידיאל $I\subseteq A$, מגדירים את תת-מודול ה-$I$-פיתול של מודול שמאלי $M$ להיות המודול $\Gamma _{I}(M)=\{m\in M:\exists n,I^{n}\cdot m=0\}$. בדרך זו מתקבל פונקטור מדויק משמאל, שהפונקטור הנגזר מימין שלו $R\Gamma _{I}$ הוא בעל חשיבות רבה בגאומטריה. הקוהומולוגיה של פונקטור זה נקראת קוהומולוגיה מקומית. במקרה הקומוטטיבי, מדואליות גרינלס-מיי (Greenlees-May) נובע קשר הדוק של פונקטור זה לפונקטור ההשלמה.

חוסר פיתול וחליקות

מודול $M$ מעל תחום $R$ הוא חליק אם לכל סקלר $a$ השונה מאפס, $aM=M$. היינו, מודול הוא חליק אם פעולת הכפל בכל סקלר היא על, בשעה שהמודול חסר פיתול אם פעולת הכפל בכל סקלר היא חד-חד-ערכית. תכונה זו יוצרת דואליות מובהקת בין שני המושגים. למשל, כל מודול פרויקטיבי הוא חסר פיתול, וכל מודול אינג'קטיבי הוא חליק. יתרה מזו, אם $R$ תחום שלמות:

• אם $T$ פונקטור קווריאנטי מדויק משמאל, אז לכל מודול חסר פיתול $M$, גם $T(M)$ חסר פיתול;
• אם $T$ פונקטור קווריאנטי מדויק מימין, אז לכל מודול חליק $M$, גם $T(M)$ חליק;
• אם $T$ פונקטור קונטרווריאנטי מדויק משמאל, אז לכל מודול חליק $M$, המודול $T(M)$ חסר פיתול;
• ואם $T$ פונקטור קונטרווריאנטי מדויק מימין, אז לכל מודול חסר פיתול $M$, המודול $T(M)$ חליק.