חבורה (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, חבורה היא מבנה אלגברי המורכב מקבוצה ופעולה בינארית אסוציאטיבית.

החבורות הופיעו במחקר המתמטי במהלך המאה ה-19, במסגרת הנסיונות לפתור משוואות פולינומיות ממעלה גבוהה, כדוגמת הפתרונות למשוואה ממעלה שלישית ורביעית שהתגלו במאה ה-16. החבורות שבהן עסקו החוקרים הראשונים, ובראשם גלואה, היו חבורות ספציפיות שאיבריהן הם תמורות. מאוחר יותר ניסח ארתור קיילי את מערכת האקסיומות המגדירה חבורה באופן מופשט, וייסד בכך את תורת החבורות.

לתורת החבורות יש שימושים רבים במתמטיקה עצמה, כאמור, אך גם בפיזיקה, כמו בחקר מבנה הגבישים והמולקולות, ובחקר מושג הסימטריה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורה \ G היא מבנה אלגברי בסיסי הכולל קבוצה עם פעולה בינארית \cdot ("סגורה": לכל a,b\in G מתקיים ש-a \cdot b \in G ), אשר מקיימת את התכונות הבאות:

(מהאקסיומות נובע שיש רק איבר יחידה אחד, ושלכל איבר יש הפכי אחד).

חבורה אבלית (חילופית) היא חבורה שבה מתקיים, בנוסף, תנאי הקומוטטיביות (חילופיות) a\cdot b=b\cdot a לכל \ a,b\in G.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קשרים בין חבורות למבנים כלליים יותר[עריכת קוד מקור | עריכה]

איבר היחידה של חבורה הוא האידמפוטנט היחיד בה. בחבורה למחצה יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, והקשרים ביניהם מאפשרים לבנות במדורג משפחות של חבורות למחצה שיש להן דמיון מסוים לחבורות. למשל, חבורה למחצה הפיכה היא חבורה למחצה שבה לכל x קיים y יחיד כך ש-xyx=x ו-yxy=y; במקרה זה מסמנים \ x^{-1}=y. בחבורה למחצה סופית S, לכל אידמפוטנט e, קבוצת האברים המקיימים \ xx^{-1}=x^{-1}x=e היא תת-החבורה המקסימלית של S ש-e הוא איבר היחידה שלה.

במונואיד, שהוא חבורה למחצה עם איבר יחידה 1, אפשר לדרוש שאיבר a יהיה "הפיך מימין" (קיים b כך ש- ab=1) או "הפיך משמאל" (קיים b כך ש-ba=1). איבר a שהוא הפיך גם מימין וגם משמאל הוא הפיך, כלומר, יש b המקיים בו-זמנית ab=ba=1. בכל מונואיד, אוסף האיברים ההפיכים סגור לכפל (בגלל התכונה \ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}), והוא מהווה לכן חבורה. אם כל איבר של המונואיד הוא הפיך משמאל, אז כולם הפיכים, והמונואיד הוא חבורה. לעומת זאת קיימים מונואידים שאינם חבורות שבהם לכל a קיימים x,y כך ש-\ xay=1. מונואיד שבו מ-ax=ay תמיד נובע x=y, נקרא "מונואיד עם צמצום משמאל"; כל מונואיד הניתן לשיכון בחבורה הוא בעל צמצום (מימין ומשמאל), אבל ההיפך אינו נכון. מונואיד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה.

תת-חבורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-קבוצה של חבורה G המהווה בעצמה חבורה (ביחס לאותה פעולת כפל ולאותו איבר יחידה), נקראת תת-חבורה. כל תת-קבוצה הכוללת יחד עם כל איבר את ההפכי שלו, ויחד עם כל שני אברים את מכפלתם, היא תת-חבורה. החיתוך של תת-חבורות הוא תמיד תת-חבורה. כל תת-חבורה H מחלקת את החבורה למחלקות שקילות, הנקראות קוסטים, בשני אופנים: מימין, המחלקות הן מהצורה \ gH = \{gh: h\in H\}, ומשמאל, המחלקות הן מהצורה \ Hg = \{hg: h\in H\}. מספר האברים בכל מחלקה (ימנית או שמאלית) שווה למספר האברים בתת-החבורה, ומכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של תת-חבורה של חבורה סופית, מחלק את הסדר של החבורה. מספר המחלקות (השמאליות או הימניות) של תת-חבורה נקרא האינדקס של תת-החבורה ומסומן \ [G:H]. כאשר החבורות סופיות מתקיים [G:H]=\frac{|G|}{|H|}.

מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את משפט קושי על קיומם של אברים בעלי סדר ראשוני, ואת משפטי סילו על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.

בין תת-החבורות, חשובות במיוחד תת-החבורות הנורמליות, שהן תת-חבורות הכוללות, יחד עם כל איבר, את כל האיברים הצמודים לו. במלים אחרות, תת-חבורה H היא תת-חבורה נורמלית של G אם לכל \ g\in G מתקיים \ gHg^{-1}\sub H; לכן \ gH=Hg לכל g. מכאן נובע שהמחלקות הימניות והשמאליות של תת-חבורה נורמלית שוות זו לזו. על אוסף המחלקות ביחס לתת-חבורה נורמלית H אפשר להגדיר פעולת כפל, ההופכת אותו לחבורה; חבורה זו נקראת חבורת המנה של G ביחס ל- H, וגודלה הוא האינדקס של H ב G. החבורה עצמה, ותת-החבורה הכוללת את איבר היחידה בלבד, הן תמיד נורמליות. חבורה שאין לה תת-חבורות נורמליות אחרות נקראת חבורה פשוטה. חבורה שאינה פשוטה אפשר לבנות מתת-חבורה נורמלית ומחבורת המנה, באמצעות תהליך הקרוי הרחבה של חבורות. נורמליות אינה עוברת בתורשה (כלומר, ייתכן ש- N תת-חבורה נורמלית של H, ו- H תת-חבורה נורמלית של G, בעוד ש- N אינה נורמלית ב- G).

המכפלה של תת-חבורות מוגדרת לפי הכפלת האברים, \ H_1 H_2 = \{h_1 h_2 : h_1 \in H_1, h_2 \in H_2\}. זוהי תת-חבורה אם ורק אם \ H_1 H_2 = H_2 H_1. מכיוון שתת-חבורה נורמלית N מקיימת את הזהות \ xN=Nx, המכפלה שלה עם כל תת-חבורה מהווה תת-חבורה. בפרט, המכפלה של שתי תת-חבורות נורמליות היא תת-חבורה (נורמלית).

תת-חבורות מיוחדות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אומרים שאברים a,b בחבורה מתחלפים, אם ab=ba. אוסף האברים המתחלפים עם כל אברי החבורה הוא תת-חבורה שלה, הנקראת מֶרְכָּז החבורה; את המרכז של G מקובל לסמן ב- \ Z(G), על-פי המלה הגרמנית למרכז, Zentrum. המרכז הוא תת-חבורה נורמלית, ובחבורה אבלית הוא שווה לחבורה כולה. יש חבורות, כגון החבורה הסימטרית, שבהן המרכז כולל רק את איבר היחידה. המרכז מוכל בכל תת-חבורה אבלית מקסימלית של החבורה.

לכל תת-חבורה H, מסמנים ב- \ C_G(H) את אוסף האברים של החבורה, המתחלפים עם כל אברי H. תת-חבורה זו נקראת המְרַכֵּז של H. אם \ H \subseteq H_1 שתי תת-חבורות של G, אז \ C_G(H_1)\subseteq C_G(H). לכל תת-חבורה מתקיים \ H \subseteq C_G(C_G(H)), ו- \ C_G(H)=C_G(C_G(C_G(H))).

באופן דומה, מגדירים את המנרמל של H, כתת-החבורה \ \{g \in G : gHg^{-1}=H\}. תת-חבורה זו מכילה את H, והיא תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבה H נורמלית.

ראו גם: תת חבורת הקומוטטורים, סדרת הרכב.

יוצרים ויחסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצה S של אברים בחבורה G היא קבוצת יוצרים של G, אם תת-החבורה הקטנה ביותר המכילה את S היא G עצמה. חבורה שיש לה קבוצת יוצרים ובה איבר יחיד, נקראת חבורה ציקלית; כל חבורה נוצרת סופית היא בת מנייה.

היוצרים של חבורה יכולים לקיים ביניהם יחסים; למשל, חבורת התמורות של שלושה עצמים נוצרת על ידי התמורות \ \sigma = (123), \tau=(12), המקיימות את היחסים \ \sigma^3 = \tau^2 = (\sigma\tau)^2 =1. חבורה שבין היוצרים שלה אין יחסים כלל נקראת חבורה חופשית; כל חבורה היא חבורת מנה של חבורה חופשית.

חבורה חופשית גדלה בקצב מעריכי. חבורות אינסופיות אחרות עשויות להציג פונקציות גידול מורכבות יותר. אם X קבוצת יוצרים סופית, מסמנים ב-B_X(n) את קבוצת האברים שאפשר להציג כמכפלה של לכל היותר n אברים של B. המספר \ \lim \sqrt[n]{|B_X(n)|} הוא קצב הגידול של החבורה (ביחס ל-X). מבחינים בשלוש מחלקות של חבורות: אלו שיש להן קבוצת יוצרים שקצב הגידול ביחס אליה הוא 1; אלו שאין להן קבוצה כזו, אבל האינפימום של קצבי הגידול הוא 1; ואלו שבהן האינפימום של קצבי הגידול הוא 1. בחבורה לא אמנבילית קצב הגידול ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית גדול מ-1.

פעולות יסודיות ואיברים צמודים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לחבורות יש מעמד מרכזי במתמטיקה בגלל היכולת שלהן לפעול על קבוצות שונות. כמעט בכל מקרה, אוסף הפונקציות ההפיכות ממרחב נתון אל עצמו, השומרות על תכונות מסוימות של המרחב, מהווה חבורה. פעולה של חבורה על קבוצה X מציגה את אברי החבורה כפונקציות הפיכות מן הקבוצה X לעצמה, וכך מאפשרת לחקור תכונות מעניינות של X מחד, ולנתח ביתר קלות את המבנה של החבורה, מאידך.

כל חבורה פועלת על עצמה בשתי דרכים חשובות: על ידי פעולת הכפל (משמאל או מימין), ועל ידי פעולת ההצמדה. פעולת הכפל משמאל מוגדרת באופן שאיבר x שולח את האיבר y לאיבר xy. בדרך זו הופך האיבר x לתמורה על אברי החבורה, וכך מתקבלת הוכחה של משפט קיילי: כל חבורה היא תת-חבורה של חבורת תמורות. בפעולת ההצמדה, האיבר x שולח את y ל- \ xyx^{-1}; פעולה זו מחלקת את החבורה G למחלקות שקילות מן הצורה \ \{xyx^{-1}: x\in G\}, הקרויות "מחלקות צמידות". פעולת ההצמדה היא גם אוטומורפיזם של החבורה עצמה, ולכן היא יוצרת הצגה של החבורה, כתת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של עצמה. הצגה זו היא נאמנה אם ורק אם לחבורה יש מרכז טריוויאלי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


מושגי יסוד באלגברה מופשטת

מונואידחבורהחוגתחום שלמותשדהמודולאלגברה (מבנה אלגברי)תורת החבורותתורת גלואהאלגברת ליהומומורפיזםמשפטי האיזומורפיזםתת חבורה נורמליתאידאללוקליזציההצגה לינארית