שיטת העברת מטריצות

שיטת העברת מטריצות (Transfer Matrix Method) - היא שיטה חישובית מתחום האופטיקה שמאפשרת באופן אנליטי לחשב גדלים אופטיים חשובים במערכת של שכבות רבות באופן פשוט יחסית על ידי כפל מטריצות, ומכאן היא שיטה יעילה ונפוצה לעיצוב ותכנון של ציפויים אנטי רפלקטיביים ומראות דיאלקטריות.

מעבר של קרן אור דרך שכבה (כולל החזרות ושבירות מסדרים גבוהים)

חוקי פרנל מתארים את ההחזרה והשבירה של אור מממשק שבין שני תווכים שונים. עם זאת, במערכת מרובות ממשקים (כמו בתמונה) מתרחשות החזרות ושבירות משנה מסדרים גבוהים יותר באופן שמקשה לבצע חישוב מדויק. על ידי הגדרה של כמה מטריצות שונות אשר מקיימות את משוואת הגלים האלקטרומגנטית ומקיימות את תנאי הרציפות של הגל האלקטרומגנטי בממשק (תלוי קיטוב) וקומבינציה של אותן המטריצות אפשר לתאר כל מערכת מרובת שכבות. בשיטה זו אפשר לחשב את מקדם ההחזרה, מקדם ההעברה, ואת גודלו של השדה החשמלי או המגנטי במרחב של המערכת.

בערך זה נתאר את המקרה הפשוט של מערכת חד-ממדית. מקרה זה לרוב מספיק כדי לתאר התקדמות של גלים במערכת של שכבות שטוחות עם מגעים אופטיים אידיאליים.

פורמליזם של תיאור הגלים

האור נע לאורך ציר ה-$z$ ופוגע במערכת השכבות באופן שניצב לפני השטח. הגלים האלקטרומגנטיים פוגעים באופן ניצב הם מהצורה:

$E\sim E_{0}e^{ikz-i\omega t}$

• הגודל $\omega =2\pi f$ הוא התדירות הזוויתית של הגל.
• הגודל $k$ הוא מספר הגל אשר מוגדר לפי הקשר הנ"ל לאורך הגל בתווך $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$
• באופן חלופי, אפשר לכתוב את מספר הגל במושגים של מקדם השבירה של התווך הרלוונטי יחד עם מספר הגל של הוואקום $k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}$ כלומר - $k=k_{0}n$.

מטריצות

מטריצת התקדמות Propagation Matrix היא מטריצה שמתארת את התקדמות הגלים הנוסעים, לימין ולשמאל, בתוך מדיום מסוים לאורך מרחק $l\,$. כאשר מקדם השבירה ($n\,$) של המדיום הוא גודל ממשי האמפליטודות ישתנו באופן מחזורי, עם זאת, כאשר מקדם השבירה של המדיום הוא גודל מרוכב אז תתרחש דעיכה של אחד הגלים והגברה של השני (מעשית היא דעיכה בכיוון התקדמות הפוך). העיקרון הפיזיקלי בבסיס המטריצה הוא קיום החלק המרחבי של משוואת הגל (אקספוננט של מספר הגל).

$P=\left({\begin{array}{cc}\exp(-ik_{0}nl)&0\\0&\exp(ik_{0}nl)\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{cc}E_{1+}\\E_{1-}\end{array}}\right)=P\left({\begin{array}{cc}E_{2+}\\E_{2-}\end{array}}\right)$

תיאור של משרעת הגלים, השדה החשמלי והמגנטי לאורך של תווך עם עכבה $\eta \,$.

מטריצה דינאמית Dynamical Matrix היא מטריצה שמעבירה את כתיב אמפליטודות הגלים הנוסעים לתיאור של עוצמת השדה החשמלי והמגנטי בנקודה מסוימת כתלות בפולריזציה ובעכבה החשמלית. העיקרון הפיזיקלי בבסיס המטריצה הוא קיום תנאי הרציפות של השדות שמקבילים לממשק. בשל רציפות השדה החשמלי משני צידי הממשק היא הסיבה שיש להעביר את כתיב האמפליטודות לזה של עוצמת השדה.

במקרה של פולריזציה TE (קיטוב s):

$D=\left({\begin{array}{cc}1&1\\{\frac {n}{\eta _{0}}}&{\frac {-n}{\eta _{0}}}\end{array}}\right)$

כאשר $\eta _{0}$ היא העכבה האופיינית האינטרינזית של הריק: $\eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}\approx 377\Omega$

$\left({\begin{array}{cc}E\\H\end{array}}\right)=D\left({\begin{array}{cc}E_{+}\\E_{-}\end{array}}\right)$

מטריצה הופכית למטריצה הדינאמית תבצע את הפעולה ההפוכה, כלומר תעביר את כתיב עוצמת השדות לכתיב של אמפליטודות הגלים הנוסעים:

$\left({\begin{array}{cc}E_{+}\\E_{1}\end{array}}\right)=D^{-1}\left({\begin{array}{cc}E\\H\end{array}}\right);D^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{cc}1&{\frac {\eta _{0}}{n}}\\1&{\frac {-\eta _{0}}{n}}\end{array}}\right)$

אופן השימוש במטריצות

ניתן לפתור ולתאר כל מערכת בשכבתית במושגים של שתי משוואות עם שני נעלמים. כלומר בהינתן האנרגיה שנכנסת מכל כיוון ניתן לדעת את האנרגיה שתצא מכל כיוון.

$\left({\begin{array}{cc}E_{1+}\\E_{1-}\end{array}}\right)=M\left({\begin{array}{cc}E_{2+}\\E_{2-}\end{array}}\right)$

כאשר:

• המטריצה $M$ היא מטריצת המעבר המלאה של השכבות אשר מורכבת מקומבינציה מתאימה של מטריצות המעבר.
• הגודל $E_{1+}$ מתאר את אמפליטודה הגל שנכנס למערכת השכבות משמאל (אנרגיה נכנסת משמאל).
• הגודל $E_{1-}$ מתאר את אמפליטודה הגל שנפלט ממערכת השכבות לכיוון שמאל (אנרגיה נפלטת משמאל).
• הגודל $E_{2+}$ מתאר את אמפליטודה הגל שנפלט ממערכת השכבות לכיוון ימין (אנרגיה נפלטת מימין).
• הגודל $E_{2-}$ מתאר את אמפליטודה הגל שנכנס למערכת השכבות מימין (אנרגיה נכנסת מימין).

ניתן לתאר מקרה פשוט של הקרנה מצד שמאל באופן מנורמל כך:

$\left({\begin{array}{cc}1\\r\end{array}}\right)=M\left({\begin{array}{cc}t\\0\end{array}}\right)$