אובייקט התחלתי ואובייקט סופי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקטגוריות, אובייקט התחלתי ואובייקט סופי הם סוג של אובייקטים בקטגוריה שמהווים עצמי קצה מבחינת המורפיזמים שיוצאים מהם ונכנסים לתוכם. באמצעות בניות בסיסיות אלה ניתן להגדיר בניות מורכבות יותר כגון מכפלה (תורת הקטגוריות) של שני עצמים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \mathcal{C} קטגוריה.

  • אובייקט I \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}) יקרא אובייקט התחלתי (Initial object) אם לכל אובייקט X \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}) בקבוצה \mathrm{Mor}(I,X) יש איבר אחד בדיוק. במלים אחרות, לכל אובייקט X: מ-I יוצא מורפיזם יחיד ל-X (כלומר: f : I \to X קיים ויחיד).
  • אובייקט F \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}) יקרא אובייקט סופי (Final object) אם לכל אובייקט X \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}) בקבוצה \mathrm{Mor}(X,F) יש איבר אחד בדיוק. במלים אחרות, לכל אובייקט X: ל-F נכנס מורפיזם יחיד מ-X (כלומר: g : X \to F קיים ויחיד).
  • אובייקט Z \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}) יקרא אובייקט אפס אם הוא גם אובייקט התחלתי וגם אובייקט סופי.

אובייקט התחלתי מוגדר ביחידות עד כדי איזומורפיזם קנוני. באופן דומה, כך גם אובייקט סופי.

נראה זאת לגבי אובייקט התחלתי: נניח ש-I_1 ו-I_2 הם אובייקטים התחלתיים. אזי קיים f \in \mathrm{Mor}(I_1,I_2) יחיד כי I1 אובייקט התחלתי וקיים g \in \mathrm{Mor}(I_2,I_1) יחיד כי I2 אובייקט התחלתי. כעת, g \circ f \in \mathrm{Mor}(I_1,I_1) אבל \mathrm{id}_{I_1} \in \mathrm{Mor}(I_1,I_1) ומאחר שהוא יחיד בקבוצה זו \mathrm{id}_{I_1} = g \circ f. באופן דומה מוכיחים ש-f \circ g = \mathrm{id}_{I_2} ולכן f ו-g הופכיים אחד לשני ומהווים איזומורפיזמים כך ש-I_1 \cong I_2.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בקטגוריית הקבוצות \mathcal{C}=\mathbf{Sets} האובייקט ההתחלתי הוא הקבוצה הריקה, ואילו כל קבוצה בת איבר אחד היא אובייקט סופי (שכן לכל קבוצה X ישנה העתקה יחידה X \to \{a \} וזו הפונקציה השולחת כל איבר מ-X ל-a).
  • בקטגוריית החבורות \mathcal{C}=\mathbf{Grps} החבורה הטריוויאלית \{ e \} (כלומר: החבורה שמורכבת רק מאיבר היחידה) היא אובייקט התחלתי (שכן הומומורפיזם של חבורות שולח יחידה ליחידה) ואובייקט סופי, ולכן אובייקט אפס.

בעזרת אובייקטים התחלתיים אפשר להגדיר אובייקטים בניות נוספים, למשל מכפלה (תורת הקטגוריות). מכפלה A \times B של עצמים A,B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}) היא אובייקט סופי בקטגוריה

\mathcal{C}_{A,B} = \left\{ (P, \alpha : P \to A , \beta : P \to B ) \ | \ P \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}), \alpha \in \mathrm{Mor}(P,A), \beta \in \mathrm{Mor}(P,B) \right\}

של שלשות סדורות המורכות מעצם P ושני מורפיזמים ל-A ו-B. כלומר, אם A \times B = (P, \alpha : P \to A , \beta : P \to B ), אזי לכל עצם D עם מורפיזמים \alpha' : D \to A ו-\beta' : D \to B קיים מורפיזם יחיד f : D \to P כך ש-\alpha' = \alpha \circ f ו-\beta' = \beta \circ f.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.