איזומטריה

בטופולוגיה, איזומטריה היא פונקציה משמרת מרחק ממרחב מטרי אחד על מרחב מטרי אחר. מרחבים שיש ביניהם איזומטריה הם איזומטריים, ויש להם אותן תכונות מטריות.

כל איזומטריה היא חד-חד-ערכית (כי היא מעתיקה נקודות שהמרחק ביניהן חיובי לנקודות שהמרחק ביניהן חיובי). לכן איזומטריות הן האיזומורפיזמים של מרחבים מטריים.

הגדרה פורמלית

איזומטריה ממרחב מטרי $S_1$ (עם מטריקה $d_1$) למרחב המטרי $S_2$ ( עם המטריקה $d_2$ בהתאמה) היא פונקציה $f: S_1 \to S_2$ על, המקיימת $\, d_2(f(x),f(y)) = d_1(x,y)$ לכל $x, y \in S_1$.

איזומטריות במישור האוקלידי

התכונה הבסיסית של איזומטריות של המישור היא שהן מוכרחות לשמור על הקווים הישרים (כלומר, קו ישר תמיד יעבור לקו ישר). בהתאם לכך, יש שלושה סוגים בסיסיים של איזומטריות: שיקוף, סיבוב, והזזה. בעזרת פעולות אלה אפשר לתאר את כל שאר האיזומטריות, השייכות (פרט להעתקת הזהות) לאחת מבין ארבע משפחות:

• הזזה - ישנו כיוון יחיד שכל הנקודות מוזזות בו. אין נקודות שבת. הישרים שבכיוון ההזזה נשמרים.
• שיקוף - ישר קבוע מתפקד כציר סימטריה; כל נקודה עוברת למקבילה לה מצידו השני. בצורה יותר מדויקת: ציר השיקוף הוא האנך האמצעי לקטע בין נקודה לתמונתה. כאן ציר השיקוף מהווה את אוסף נקודות השבת.
• סיבוב - מסובבים את המישור בזווית נתונה (לא טריויאלית) סביב נקודה קבועה. ישנה נקודת שבת אחת.
• החלקה - זוהי הרכבה של שיקוף ושל הזזה בכיוון ציר השיקוף. שתי העתקות כנ"ל מתחלפות בכפל, כלומר לא משנה איזו מהן מבוצעת קודם. אין נקודות שבת.

ישנה איזומטריה נוספת והיא איזומטרית הזהות. באיזומטריה זו כל נקודה מועתקת אל עצמה ולכן למעשה כל הנקודות הן נקודות שבת.

אחרי שקובעים את הראשית, אפשר לכתוב כל איזומטריה בצורה $\ T(p)=Ap+v$ כאשר $\ A$ היא מטריצה אורתוגונלית ו-$\ v$ הוא וקטור ההזזה. כאן $\ A$ היא איזומטריה שמשמרת את הראשית. לכן ניתן לחשוב על איזומטריה כאיבר ב- $\ O(2)\times \mathbb{R}^2$ ($\ O(2)$ היא חבורת המטריצות האורתוגונליות)

במכפלה הזו, המרכיב $\ O(2)$ פועל על המישור לפי פעולת המטריצות. ביתר פירוט, אם $\ T_i (p)=A_i p+v_i$ עבור $\ i=1,2$, אז $\ T_2\cdot T_1 (p)=A_2 A_1 p+A_2 v_1+v_2$.

פרוש הדבר הוא שחבורת האיזומטריות של המישור היא מכפלה חצי ישרה של $\ O(2)$ ושל $\ \mathbb{R}^2$.

ראו גם

• קוואזי-איזומטריה