הרכבת פונקציות

$\ (g \circ f)(x)$, הרכבה של $\ g$ על $\ f$

במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו.

ובאופן פורמלי: אם $\ f$ פונקציה מ-$\ X$ ל-$\ Y$ ו-$\ g$ פונקציה מ-$\ Y$ ל-$\ Z$, אז ההרכבה $\ g \circ f$ (בסדר זה) היא הפונקציה מ-$\ X$ ל-$\ Z$ המוגדרת לפי $\ (g \circ f)(x) = g(f(x))$. ההרכבה מוגדרת בתנאי שהטווח של הפונקציה הראשונה ($\ f$) מוכל או שווה לתחום של הפונקציה השנייה ($\ g$).

תכונות

התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את $\ h$ על $\ g$ ואת $\ g$ על $\ f$, אז $\ h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$. בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה X לעצמה הוא מונויד. פונקציה שהיא חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת $\ g$ כך שההרכבות $\ f \circ g$ ו- $\ g \circ f$ הן פונקציית הזהות על $\ X$.

הרכבה של פונקציות ממשיות

הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה $\ f(x) = e^{\sin(x^2)}$ היא ההרכבה $\ f= \exp \circ \sin \circ s$ כאשר $\ s(x) = x^2$ ו- $\ \exp(x) = e^x$.

גבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם $f\,$ו-$g\,$ פונקציות שעבורן $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=y_0$ וכן גם $\lim_{y\rightarrow y_0} g(y)=L$ (עבור $x_0,y_0,L$ כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות $g \circ f$ קיים ושווה ל-$\lim_{x\rightarrow x_0} (g\circ f)(x)=g\left(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\right)=L$ אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים: g רציפה ב-$y_0$ (כלומר $L = g(y_0)$) או שקיימת סביבה מנוקבת של $x_0$ שבה $f(x) \neq y_0$. שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.

כלל השרשרת קובע את הנגזרת של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים.