אי-שוויון הלדר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Incomplete-document-purple.svg יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. סיבה: זה רק מקרה פרטי קטן, ראו את הערך האנגלי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.

אי-שוויון הלדר קובע כי \sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \leq \left ( \sum_{i=1}^{n} a_i \right ) ^{\alpha} \cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} b_i \right ) ^{\beta} עבור: a_i, b_i, \alpha , \beta \geq 0 כאשר \alpha+\beta=1.

ניתן להכליל את אי-שוויון הלדר עבור מספר כלשהו של סדרות, לדוגמה: \sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \cdot c_i^\gamma \leq \left ( \sum_{i=1}^{n} a_i \right ) ^{\alpha} \cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} b_i \right ) ^{\beta}\cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} c_i \right ) ^{\gamma} כאשר \alpha + \beta + \gamma=1 וגם \alpha,\beta,\gamma \geq 0.

כאשר \alpha = \beta = \frac{1}{2} מתקבל אי-שוויון קושי-שוורץ: \left ( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right ) ^ \frac{1}{2} \cdot\left ( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right ) ^ \frac{1}{2} \geq \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^2 \right )^\frac{1}{2} \cdot \left( b_i^2 \right )^\frac{1}{2} ולכן סה"כ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \geq \left ( \sum_{i=1}^{n} \left | a_ib_i \right | \right )^2

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יש לשים לב כי מספיק להוכיח את הטענה הבאה לכל \alpha,\beta \geq 0 כך ש \alpha+\beta=1 והטענה המופיעה למעלה נובעת באינדוקציה לכל כמות של סדרות: \sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \leq \left ( \sum_{i=1}^{n} a_i \right ) ^{\alpha} \cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} b_i \right ) ^{\beta}.

הוכחה:

נשים לב שלכל x,y \geq 0 מתקיימת הטענה הבאה: x^\alpha\cdot y^\beta \leq \alpha \cdot x + \beta \cdot y. זאת ניתן להוכיח בעזרת אי-שוויון ינסן שהרי log הינה פונקציה קעורה ולכן: \alpha \cdot log(x) + \beta \cdot log(y) \leq log(\alpha \cdot x + \beta \cdot y).

כעת נסמן S_a = \sum_{i=1}^{n} a_i, S_b = \sum_{i=1}^{n} b_i ולפי הטענה הנ"ל מתקיים \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{a_i}{S_a} \right )^\alpha \cdot \left ( \frac{b_i}{S_b} \right )^\beta \leq \sum_{i=1}^{n} \left ( \alpha \cdot \frac{a_i}{S_a} \right) + \sum_{i=1}^{n} \left ( \beta \cdot \frac{b_i}{S_b} \right) = \alpha + \beta = 1 נכפיל את שני האגפים ב S_a ^ \alpha \cdot S_b^\beta ונקבל את אי השוויון הרצוי \sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \leq S_a ^ \alpha \cdot S_b^\beta.

כמובן, הוכחה דומה ניתן לספק עבור פונקציות חיוביות והאינטגרלים שלהן במקום סדרות חיוביות והסכום שלהן.