נורמה (אנליזה)

באנליזה מתמטית, נורמה היא פונקציה ממשית המוגדרת על מרחב וקטורי, ומתאימה לכל וקטור ערך ממשי, באופן שמתמלאים מספר תנאים. תנאים אלה מבוססים על התכונות היסודיות של האורך המוכר במרחב האוקלידי. מרחב וקטורי שמוגדרת עליו נורמה נקרא מרחב נורמי. בדומה למטריקה, שהיא הכללה חופשית ורחבה של מושג האורך, הנורמה מודדת מרחקים יחסיים, ואפשר לראות בה מטריקה שאינה מושפעת מהזזות.

הגדרה

האורך במרחב האוקלידי מקיים את הדרישות הטבעיות הבאות:

• אורך הוא תמיד חיובי, חוץ מאורכו של וקטור האפס, שהוא אפס.
• מתיחה של הווקטור בסקלר מכפילה גם את האורך בערכו המוחלט של אותו סקלר.
• מתקיים אי שוויון המשולש.

בשל תכונות אלה, מגדירים נורמה כפונקציה ממרחב וקטורי V מעל שדה המספרים הממשיים אל המספרים הממשיים, המקיימת את האקסיומות הבאות:

1. $\ \|x\|\ge 0$, ואם $\ \|x\|=0$ אז x=0 (חיוביות)
2. $\ \|\lambda\cdot x\|=|\lambda |\cdot \|x\|$ (הומוגניות)
3. $\ \|x+y\|\le \|x\|+\|y\|$ (אי-שוויון המשולש)

דוגמאות

הערך המוחלט

הערך המוחלט הסטנדרטי הוא נורמה המוגדרת על הישר הממשי עצמו.

נורמה במרחבי מכפלה פנימית

בכל מרחב מכפלה פנימית מוגדרת נורמה על ידי $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$, כאשר $\langle\cdot ,\cdot\rangle$ המכפלה הפנימית במרחב. אומרים שהנורמה הזו מושרית על ידי המכפלה הפנימית.

משפט: נורמה מושרת על ידי מכפלה פנימית אם ורק אם היא מקיימת את שוויון המקבילית, הוא $\!\, \| f+g \| ^2 + \| f - g \| ^2 = 2 \| f \| ^2 + 2 \| g \| ^2$.

הסיבה לכך (במקרה הממשי) היא שאם הנורמה אכן מושרית על ידי מכפלה פנימית, אפשר לשחזר את המכפלה הפנימית על ידי "הזהות הפולרית" $\ (x,y) = \frac{1}{2}(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2)$, ובמקרה זה חישוב ישיר מראה שהנורמה מקיימת את שוויון המקבילית. הנוסחה למכפלה פנימית של מרחב וקטורי מעל המרוכבים מעט יותר מסובכת.

יחס דומה, מעט כללי יותר, מתקיים בין תבניות ריבועיות לבין תבניות בילינאריות.

הנורמה הסטנדרטית במרחב האוקלידי

הנורמה המקובלת ביותר במרחב הווקטורי $\ \mathbb{R}^n$ היא $\|x\| = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2}$, הנקראת הנורמה הסטנדרטית. זוהי הנורמה הטבעית במרחבי מכפלה פנימית ומקיימת את התכונות הגאומטריות המוכרות לנו.

נורמת l_p

דוגמה לנורמה לא-אוקלידית במרחב הווקטורי $\ \mathbb{R}^n$ היא 'נורמת $\ \ell^p$' שמוגדרת כך:

$\!\, \| x \| _p = \left( \sum_{i=1}^{n}{|x_i|^p} \right) ^{1 \over p}$, כאשר $\ p\ge1$ ממשי קבוע.

את אי שוויון המשולש אפשר להוכיח באמצעות אי-שוויון הולדר/תנאי הולדר. עבור $\ p=2$ מקבלים את הנורמה האוקלידית.

תכונות נוספות

• כל מרחב נורמי הוא גם מרחב מטרי, כאשר המטריקה מוגדרת על ידי $g(x,y)= \| x-y \|$, ובפרט הוא הופך להיות מרחב טופולוגי. זה מאפשר להגדיר גבול של סדרות: סדרה $\ x_n$ שואפת לגבול $\ L$ אם $\!\, \lim_{n \to \infty}{\| x_n - L \|} = 0$.
• את הנורמה אפשר 'לקרוא' מתוך כדור היחידה שלה. כדור היחידה חייב לחתוך כל קרן היוצאת מהמרכז, להיות סימטרי (לשיקוף $x\mapsto -x$ ), וקמור.

ראו גם

• מרחב נורמי
• נורמה של אופרטור
• נורמה (אלגברה)