דרגה של אלגברה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, הדרגה של אלגברה מממד סופי היא המעלה של פולינום מינימלי גנרי של לאלגברה. הדרגה חסומה על ידי מימד האלגברה, ושווה לה במקרים מסוימים; למשל, הדרגה של הרחבת שדות ספרבילית שווה לממד. עם זאת, הדרגה יכולה להיות קטנה מהממד: הדרגה של אלגברת המטריצות \ \operatorname{M}_n(F) היא \ n. לכן הדרגה חסומה על ידי מימד ההצגה הלינארית הקטנה ביותר של האלגברה. הדרגה אינה משתנה תחת הרחבת סקלרים.

הפולינום הגנרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי A אלגברה (אסוציאטיבית, או לכל הפחות אלגברה לא אסוציאטיבית שהיא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט), מממד סופי מעל שדה F. נבחר בסיס \ b_1,\dots,b_n, ונתבונן באיבר \ X = x_1 b_1 + \cdots +x_n b_n של האלגברה \ A \otimes_F F(x_1,\dots,x_n) המתקבלת מהרחבת סקלרים מ-F לשדה הפונקציות \ F(x_1,\dots,x_n). במקרה כזה, קיים פולינום מינימלי מתוקן P המאפס את X, והוא נקרא הפולינום המינימלי הגנרי של A. הדרגה שווה למעלה של P.

לדוגמה, הדרגה של אלגברת המטריצות \ M_m(F) היא m; וזו גם הדרגה של כל אלגברה פשוטה מממד \ m^2 מעל למרכז שלה. אם \ A_1,A_2 הן אלגברות מעל אותו שדה, אז דרגת הסכום הישר שלהן היא הדרגה הגדולה מבין השתיים.

אלגברות (אפילו שאינן אסוציאטיביות) מדרגה 2 נקראות אלגברות ריבועיות.