השתנות חסומה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

השתנות חסומה היא תכונה של פונקציות ממשיות. עבור פונקציות במשתנה אחד, פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע \ [a, b] היא כזו שהשינוי הכולל שלה על ציר ה y הוא סופי, ולכן היא גם חסומה בקטע.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור פונקציה \ f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} תהי T חלוקה של הקטע בצורה הבאה:

\ T:  a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b


נגדיר את ההשתנות של f לפי T להיות:

\ v(f,T) = \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})|

כעת נגדיר את ההשתנות הכללית של הפונקציה בקטע [a,b] להיות:

 V^b_a(f)=\sup_{T}\{v(f,T)\}

כאשר ההשתנות הכללית של f בקטע היא ערך ממשי סופי, f תיקרא "בעלת השתנות חסומה בקטע".

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הפונקציה \cos x היא בעלת השתנות חסומה בקטע [0,\pi] ומתקיים שם \ V^b_a(\cos x) = 2.
  • כל פונקציה מונוטונית היא בעלת השתנות חסומה ומתקיים \ V^b_a(f) = |f(b)-f(a)|.
  • כל פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא בעלת השתנות חסומה שכן במקרה כזה קיים קבוע K כך ש-V^b_a(f) \le K(b-a).
  • פונקציית דיריכלה היא פונקציה חסומה שאינה בעלת השתנות חסומה. לכל n טבעי אפשר לבחור חלוקה T שבה יש n+1 נקודות רציונליות ואי-רציונליות לסירוגין ולקבל v(T) = n.
  • הפונקציה x\sin(1/x) המוגדרת כאפס באפס היא פונקציה רציפה וחסומה בקטע [0,1] שאינה בעלת השתנות חסומה. אפשר לבנות סדרת חלוקות (T_n) עם נקודות קרובות מספיק לאפס כך שהסדרה v(T_n) היא סדרת הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני המתבדר.

תכונות של פונקציות בעלות השתנות חסומה בקטע סגור[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • צירוף לינארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה הוא פונקציה בעלת השתנות חסומה.
  • פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה חסומה (ולכן אינטגרבילית). הסיבה לכך נובעת ישירות מהאי-שיווין הפשוט שנובע מחלוקה של הקטע בנקודה אחת \ T:  a = x_0 < x_1 = x < x_2 = b:
\ |f(x)| - |f(a)| \le |f(x) - f(a)| \le  |f(x) - f(a)| + |f(b) - f(x)| = \sum_{i=1}^2 |f(x_i) - f(x_{i-1})| \le V^b_a(f)
ולכן \ |f(x)| \le V^b_a(f) + |f(a)| לכל \ x ב-[a,b].
הכיוון ההפוך לא נכון כפי שמודגם בדוגמאות.
  • פונקציה היא בעלת השתנות חסומה אם ורק אם היא הפרש של שתי פונקציות מונוטוניות לא יורדות: אם \ f פונקציה בעלת השתנות חסומה, הפונקציות
\ f_1(x) = V_a^x f
\ f_2(x) = V_a^x f - f(x)
שתיהן פונקציות מונוטוניות לא יורדות, ומתקיים: \ f(x) = f_1(x) - f_2(x)
כל הפרש בין פונקציות לא יורדות הוא בעלת השתנות חסומה כצירוף לינארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה.