פונקציית דיריכלה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

פונקציית דיריכלה היא פונקציה ממשית המקבלת את הערך 1 עבור כל מספר רציונלי ואת הערך 0 עבור כל מספר אי רציונלי. כלומר זוהי הפונקציה המציינת של קבוצת המספרים הרציונלים על הישר:

פונקציית דיריכלה מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:

• היא אינה רציפה באף נקודה על הישר - כל נקודה של הפונקציה היא נקודת אי רציפות מן הסוג השני, ומכאן ברור שאין קטע שהיא רציפה בו או גזירה בו.
• אין קטע שהיא מונוטונית בו.
• אין קטע שהיא אינטגרבילית רימן בו (אך היא אינטגרבילית עבור אינטגרל לבג).

בשל תכונות אלו משמשת פונקציית דיריכלה לעתים קרובות בתור דוגמה נגדית, כדי להראות שתכונה כלשהי, המתקיימת בפונקציות ממשיות רבות, אינה מתקיימת בכולן.

פונקציית דירכלה נקראת על שמו של המתמטיקאי הגרמני יוהן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה.

[עריכה] ראו גם

• פונקציית רימן ("פונקציית הסרגל")
• פונקציית ויירשטראס