פונקציה חסומה

באנליזה מתמטית, פונקציה חסומה היא פונקציה, בדרך-כלל ממשית או מרוכבת, שכל ערכיה קטנים בערכם המוחלט ממספר קבוע כלשהו. אומרים שהפונקציה חסומה בתחום D אם קיים קבוע M כך שלכל $\ x\in D$, $\ |f(x)|<M$, גם אם הפונקציה אינה חסומה בכל תחום ההגדרה שלה.

דוגמאות

כל פונקציה קבועה (כזו המקבלת ערך קבוע לכל הצבה) היא חסומה. באופן כללי יותר, פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים ממשיים היא חסומה.

לפי משפט ויירשטראס הראשון, כל פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו. זהו מקרה פרטי של תכונה כללית יותר: כל פונקציה רציפה המוגדרת על מרחב קומפקטי היא חסומה.

• הפונקציה $\ f(x) = \sin(x)$ חסומה, כי כל הערכים שהיא מקבלת קטנים או שווים בערכם המוחלט מ- 1.
• הפונקציה $f(x) = x$ אינה חסומה, כי לכל חסם $M$, מתקיים $|f(M+1)|=M+1>M$.
• הפונקציה $f(x) = x$ חסומה בתחום $(0,1)$. לכל נקודה בתחום מתקיים $|f(x)| = x<1$.
• הפונקציה $f(x)=\frac1x$ אינה חסומה בתחום $(0,1)$. נניח כי היה קיים חסם $M$. נבחר מספר טבעי $n$ הגדול מ-$M$. מכיוון ש-$0<1/n<1$, נקבל את הסתירה $|f(1/n)| = n>M$.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.