פונקציה חסומה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, פונקציה חסומה היא פונקציה, בדרך-כלל ממשית או מרוכבת, שכל ערכיה קטנים (או שווים) בערכם המוחלט ממספר קבוע כלשהו. אומרים שהפונקציה חסומה בתחום A אם קיים קבוע M כך שלכל \ x\in A, \ |f(x)| \le M, גם אם הפונקציה אינה חסומה בכל תחום ההגדרה שלה. פונקציה ממשית נקראת חסומה מלמעלה או חסומה מלעיל אם קיים קבוע M כך ש-f(x) \le M לכל x בתחום הגדרתה. פונקציה ממשית נקראת חסומה מלמטה או חסומה מלרע אם קיים קבוע m כך ש-f(x) \ge m לכל x בתחום הגדרתה. פונקציה ממשית היא חסומה אם ורק אם היא חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה f : A \to \mathbb{R} היא חסומה אם ורק אם התמונה שלה, \operatorname{Im}f = f(A) היא קבוצה חסומה. בפרט, פונקציה היא חסומה אם ורק אם התמונה שלה מוכלת בתוך קטע סגור.

לפי משפט ויירשטראס הראשון, כל פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו. זהו מקרה פרטי של תכונה כללית יותר: כל פונקציה רציפה המוגדרת על מרחב קומפקטי היא חסומה.

טענה: פונקציה היא חסומה אם ורק אם היא חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה.

הוכחה: תהי f : A \to \mathbb{R} פונקציה חסומה גם מלמעלה וגם מלמטה, כלומר: קיימים -\infty m \le M < \infty כך ש-m \le f(x) \le M לכל x \in A. נבחר S = \max \{ |m| , |M| \}. אזי |f(x)| \le S לכל x \in A. הכיוון השני הוא טריוויאלי, שכן |f(x)| \le S גורר -S \le f(x) \le S.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל פונקציה קבועה (כזו המקבלת ערך קבוע לכל הצבה) היא חסומה. באופן כללי יותר, פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים ממשיים היא חסומה.

  • הפונקציה \ f(x) = \sin(x) חסומה, כי כל הערכים שהיא מקבלת קטנים או שווים בערכם המוחלט מ-1. למעשה, תמונתה היא הקטע הסגור [-1,1].
  • הפונקציה f(x) = x אינה חסומה, כי לכל חסם M, מתקיים |f(M+1)|=M+1>M.
  • הפונקציה f(x) = x חסומה בתחום (0,1). לכל נקודה בתחום מתקיים |f(x)| = x<1.
  • הפונקציה f(x)=\frac1x אינה חסומה בתחום (0,1). נניח כי היה קיים חסם M. נבחר מספר טבעי n הגדול מ-M. מכיוון ש-0<1/n<1, נקבל את הסתירה |f(1/n)| = n>M.
  • הפונקציה f(x)=e^x חסומה מלמטה כי e^x > 0 לכל x \in \mathbb{R} אך איננה חסומה מלמעלה.
  • הפונקציה f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} חסומה. מלמטה היא חסומה על ידי 0 כי היא תמיד חיובית ומלמעלה היא חסומה על ידי 1 שכן 1 \le 1 + x^2 לכל x \in \mathbb{R}. למעשה, \operatorname{Im}f = f(\mathbb{R}) = (0,1].
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.