מודול פשוט למחצה

במתמטיקה, ובפרט בתחום תורת המודולים, מודול פשוט למחצה הוא מודול המתפרק לסכום ישר של תת-מודולים פשוטים. תכונה זו מאפשרת להחליף שאלות על המודול בשאלות דומות על תת-המודולים הפשוטים שלו, ולכן מודולים פשוטים למחצה הם אלו שעבורם תורת ההצגות, החוקרת את המודולים הפשוטים של חוג, היא הנגישה ביותר.

חוג שהוא פשוט למחצה כמודול מעל עצמו נקרא חוג פשוט למחצה. לפי משפט ארטין-ודרברן, החוגים הפשוטים למחצה הארטיניים הם המכפלות הישרות של חוגי מטריצות מעל חוגי חילוק.

הגדרה

מודול M מעל חוג R עם יחידה יקרא פשוט למחצה אם כל תת-מודול N שלו הוא מחובר ישר, כלומר קיים P כך ש $M=N \oplus P$.

עבור מודול M התנאים הבאים שקולים:

1. M הוא מודול פשוט למחצה.
2. M הוא סכום של מודולים פשוטים.
3. M הוא סכום ישר של מודולים פשוטים.

תכונות

• אם M הוא מודול פשוט למחצה ו N הוא תת-מודול שלו, אז N ו M/N הם מודולים פשוטים למחצה.
• אם $\ M_i$ הם מודולים פשוטים למחצה אז הסכום הישר שלהם $\bigoplus M_i$ הוא מודול פשוט למחצה.