מודול פשוט למחצה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובפרט בתחום תורת המודולים, מודול פשוט למחצה הוא מודול המתפרק לסכום ישר של תת-מודולים פשוטים. תכונה זו מאפשרת להחליף שאלות על המודול בשאלות דומות על תת-המודולים הפשוטים שלו, ולכן מודולים פשוטים למחצה הם אלו שעבורם תורת ההצגות, החוקרת את המודולים הפשוטים של חוג, היא הנגישה ביותר.

חוג שהוא פשוט למחצה כמודול מעל עצמו נקרא חוג פשוט למחצה. לפי משפט ארטין-ודרברן, החוגים הפשוטים למחצה הארטיניים הם המכפלות הישרות של חוגי מטריצות מעל חוגי חילוק.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מודול M מעל חוג R עם יחידה יקרא פשוט למחצה אם כל תת-מודול N שלו הוא מחובר ישר, כלומר קיים P כך ש M=N \oplus P.

עבור מודול M התנאים הבאים שקולים:

  1. M הוא מודול פשוט למחצה.
  2. M הוא סכום של מודולים פשוטים.
  3. M הוא סכום ישר של מודולים פשוטים.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם M הוא מודול פשוט למחצה ו N הוא תת-מודול שלו, אז N ו M/N הם מודולים פשוטים למחצה.
  • אם \ M_i הם מודולים פשוטים למחצה אז הסכום הישר שלהם \bigoplus M_i הוא מודול פשוט למחצה.