מודול פשוט

באלגברה ובתורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג R הוא מודול M שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו-M עצמו. מודול האפס אינו נחשב פשוט. מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.

כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים. חוג המספרים השלמים, כמודול מעל עצמו, הוא דוגמה למודול שאין לו תת-מודולים פשוטים.

אפיון

כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה $\ M=Rx$), וכל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה $\ R/L$ כאשר $\ L$ אידאל שמאלי של $\ R$. המודול R/L פשוט בדיוק כאשר L אידאל שמאלי מקסימלי (ולפי הלמה של צורן נובע מכאן שלכל חוג יש מודולים פשוטים). המאפס של R/L הוא האידאל הדו-צדדי הגדול ביותר המוכל ב-L; לכן R חוג פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידאל שמאלי שאינו מכיל אף אידאל דו-צדדי.

דוגמאות

• המודולים של חוג המספרים השלמים הם החבורות האבליות; המודולים הפשוטים הם בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני.

• תת-המודולים הפשוטים של חוג (כמודול מעל עצמו) הם האידאלים השמאליים המינימליים שלו, אם יש כאלה.

הלמה של שור

הומומורפיזם של מודולים בעל תחום שהוא מודול פשוט הוא הומומורפיזם האפס, או שהוא חד חד ערכי (כי הגרעין שלו תת-מודול). בדומה, אם הטווח של ההומומורפיזם פשוט אז הוא הומורפיזם האפס, או שהוא על (כי התמונה שלו תת-מודול). לכן הומומורפיזם בין מודולים פשוטים הוא הומומורפיזם האפס, או שהוא איזומורפיזם.

ניסוח אחר של המשפט; חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כי כל אנדומורפיזם שונה מאפס הוא איזומורפיזם ולכן הפיך.

הכיוון ההפוך ללמה של שור אינו נכון. למשל, המודול $\ \mathbb {Q}$ מעל $\ \mathbb {Z}$ אינו מודול פשוט אבל חוג האנדומורפיזמים שלו איזומורפי לשדה $\ \mathbb {Q}$.