משפט ויטלי

בתורת המידה, משפט ויטלי הוא משפט הקובע כי לכל קבוצה מדידת לבג ממידה חיובית יש תת-קבוצה לא מדידה. ההוכחה מבוססת על בחירת נציג מכל מחלקה של המספרים הרציונליים, ותלויה לכן באקסיומת הבחירה.

הוכחת המשפט

למה: תהי $\ A$ קבוצה מדידה לבג עם מידה חיובית $\ a = m^*(A) > 0$. אז קבוצת ההפרשים $A - A = \{x - y \,|\, x \,, y \in A \}$ מכילה קטע פתוח לא ריק סביב נקודת האפס.

הוכחה. לפי ההגדרה של מידת לבג, קיימת סדרת קטעים פתוחים זרים $\ I_n$ המכסה את $\ A$, עם $\ \sum_{n = 0}^{\infty}{ \ m^*\left(I_n\right) } < \left(1 + \frac{1}{3} \right) m^*(A) \$.

נסמן $\ A_n = A \cap I_n$. אוסף החיתוכים האלה הוא כיסוי של A בקבוצות זרות ומדידות. קיים n עבורו $\ |I_n| = m^*\left(I_n\right) < \frac{4}{3} \ m^*\left(A_n\right)$, משום שאחרת $\ \sum_{n = 0}^{\infty}{ m^*\left(I_n\right) } \ge \frac{4}{3} \sum_{n = 0}^{\infty}{ \ m^*\left(A_n\right) } = \frac{4}{3} \ m^*\left(A\right) = \frac{4}{3} a$, בסתירה לבחירת הקטעים $\ I_n$.

נסמן $\ I_n = I$ ,$\ A_n = J$. אז $\ \frac{3}{4} m^*\left(I\right) < \ m^*\left(J\right)$ מכיוון ש-$\ m^*\left(I_n\right) < \frac{4}{3} \ m^*\left(A_n\right)$.

כעת נראה שלכל $|d| < \frac{1}{2} |I|$, החיתוך $J \cap \left( J + d \right)$ אינו ריק. אחרת, $\ 2 m^*\left(J\right) = m^*\left(J\right) + m^*\left(J + d\right) = m^*\left(J \cup (J+d)\right) \le m^*\left(I \cup (I+d)\right) \le |I| + |d| \le |I| + \frac{1}{2} |I| = \frac{3}{2} |I|$, ומכאן $\ m^*\left(J\right) \le \frac{3}{4} |I|$, סתירה.

לכן לכל d כנ"ל, $\ d \in J - J = A_n - A_n \subseteq A-A$, והקטע $\left(-\frac{1}{2} |I| \,, \frac{1}{2} |I| \right)$ כולו מוכל בהפרש $\ A-A$, כנדרש.

הוכחת המשפט. תהי $\ A$ מדידת לבג עם מידה חיובית. נבחר (באמצעות אקסיומת הבחירה) קבוצה P של נציג אחד מכל מחלקה של חבורת המנה $\ \mathbb{R}/\mathbb{Q}$. נקבע מספור $\ \mathbb{Q} = \{r_1,r_2,\dots\}$ של המספרים הרציונליים.

נגדיר $\ A_n = A \cap (P+r_n)$, אז $\ \bigcup_{n=1}^{\infty}{ A_n}$ איחוד זר של A, ולכן, אם הקבוצות $\ A_n$ כולן מדידות, אז מתקיים $m^*\left(A\right) = \sum_{n=1}^{\infty}{m^*\left(A_n\right)}$, ומכאן שיש קבוצה $\ A_n$ עם מידה חיובית. זה סותר את הלמה, משום שההפרש $\ A_n - A_n$ אינו יכול להכיל מספר רציונלי שונה מאפס: אחרת יש $x \,, y \in P$ כך ש $(r_n + x) - (r_n + y) = x - y \in \Q$, בסתירה לבחירת הקבוצה P.