אקסיומת הבחירה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אקסיומת הבחירה היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית, שנוסחה לראשונה על ידי ארנסט צרמלו. בניגוד לכל שאר האקסיומות האחרות במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (למעט אולי אקסיומת האינסוף), אקסיומה זו אינה נחשבת 'מובנת מאליה', וניתן לפתח את תורת הקבוצות במידה רבה גם בלעדיה. לאקסיומה יש כמה מסקנות שימושיות ביותר (ובראשן הלמה של צורן, משפט הסדר הטוב ועקרון המקסימום של האוסדורף), ולכן היא מקובלת כמעט על כל המתמטיקאים, אך בה במידה יש לה מסקנות העשויות להראות מופרכות (כגון פרדוקס בנך-טרסקי).

בלשון לא מדויקת, אקסיומת הבחירה טוענת שבהינתן אוסף של קבוצות לא ריקות, קיימת דרך לבחור איבר אחד מכל קבוצה. הפילוסוף והמתמטיקאי ברטרנד ראסל הדגים זאת בדוגמה הבאה: אם נתונה סדרה של זוגות נעליים, אפשר לבחור נעל אחת מכל זוג גם ללא אקסיומת הבחירה, לפי הכלל "בחר את הנעל השמאלית בכל זוג". לעומת זאת, כדי לבחור גרב אחד מכל זוג גרביים (שבהם אין הבחנה בין ימין לשמאל), יש להסתמך על אקסיומת הבחירה.

לאחר שמעמדה של אקסיומת המקבילים יושב בראשית המאה ה-19, אקסיומת הבחירה שהוצעה בסוף אותה מאה עוררה מחקר, עניין ואף מחלוקות בהיקף שאף אקסיומה אחרת לא התקרבה אליו. תפקידה במסגרת תורת הקבוצות, שאותו חזה דויד הילברט כשהקדיש לה (ולהשערת הרצף) את הבעיה הראשונה שלו, הוביל להתפתחות עמוקה של יסודות המתמטיקה לאורך כל המאה ה-20. בתחילת דרכה היו הדעות באשר לה חלוקות. האינטואיציוניסטים דחו אותה, אבל כמותם היו גם רבים אחרים. עם זאת, הגרסאות השימושיות של אקסיומת הבחירה, ובראשן משפט הסדר הטוב והלמה של צורן, הביאו את מרבית המתמטיקאים לקבל אותה. מעמדה התחזק כשקורט גדל הוכיח (1938) שהוספת אקסיומת הבחירה אינה פוגעת בעקביות של אקסיומות צרמלו-פרנקל. עם זאת נותרו כיסי התנגדות, ואן דר ורדן, שכתב את הספר המשפיע "אלגברה מודרנית", כלל אותה במהדורה הראשונה (1930), השמיט אותה מן המהדורה השנייה (1937) בהשפעתם של עמיתיו לאסכולה הגרמנית, וחזר וכלל אותה במהדורה השלישית (1950), בלחצם של עמיתיו חוקרי האלגברה (דרושה הלמה של צורן כדי להוכיח שלכל שדה יש סגור אלגברי, או שלכל חוג יש אידאל מקסימלי). רק כשפול כהן הוכיח ב-1963 ששלילתה של אקסיומת הבחירה, גם היא אינה פוגעת בעקביות של מערכת צרמלו-פרנקל, בשלה ההכרה באקסיומה זו כאובייקט למחקר עצמאי. רוב המתמטיקאים המודרניים מניחים את אקסיומת הבחירה, וחוקרי תורת הקבוצות ויסודות המתמטיקה מתעמקים בגרסאות חלשות שלה ובהשלכותיהן.

תוכן עניינים

1 אקסיומת הבחירה
2 תורת הקבוצות ללא אקסיומת הבחירה
- 2.1 גרסאות חלשות של אקסיומת הבחירה
3 שימושי אקסיומת הבחירה
4 קישורים חיצוניים
5 לקריאה נוספת

[עריכה] אקסיומת הבחירה

במערכת הלוגית של תורת הקבוצות האקסיומטית יש רק סוג אחד של אובייקטים - קבוצות, ויחס אחד - שייכות. לאקסיומות יש אופי של בניה: כל אקסיומה מוסיפה, בתנאים מסוימים, עוד קבוצה למאגר הקבוצות הקיימות. אקסיומת הבחירה מספקת, בתנאים מסוימים פונקציה, שגם היא סוג של קבוצה (קבוצת הזוגות הסדורים מן הצורה $\ (x,f(x))$ ; גם זוגות סדורים הם קבוצות).

אם $\ X=\left\{S_{\alpha}\right\}_{\alpha \isin \Lambda}$ היא משפחה של קבוצות, פונקציה $f:X\rarr \bigcup_{\alpha\isin\Lambda}S_\alpha$ נקראת פונקציית בחירה אם היא מקיימת את התנאי $\ \forall\alpha\isin\Lambda:f(S_\alpha)\isin S_\alpha$ .

האקסיומה קובעת כך: לכל משפחה של קבוצות לא ריקות קיימת פונקציית בחירה.

המכפלה הקרטזית של אוסף קבוצות מוגדרת כקבוצת פונקציות הבחירה מקבוצות אלה. אקסיומת הבחירה שקולה, אם כך, לטענה שהמכפלה הקרטזית של קבוצות לא ריקות, אינה ריקה.

ניסוח שקול : לכל קבוצה $\ X$ יש פונקציה $\ f: P(X) \setminus \left\{\empty \right\} \rightarrow X$ כך ש- $\ f(A)\in A$ לכל $\ A \in P(X)$ .

[עריכה] תורת הקבוצות ללא אקסיומת הבחירה

במקרים רבים קיומה של פונקציית בחירה מובטח מן האקסיומות האחרות, ואין צורך באקסיומת הבחירה. בהכללה אפשר לומר שהאקסיומות האחרות "בונות" את פונקציית הבחירה, בעוד שאקסיומת הבחירה היא הנחת קיום שאינה קונסטרוקטיבית.

להלן כמה דוגמאות שבהן אין צורך באקסיומת הבחירה.

בבחירה ממספר סופי של קבוצות, אפשר לבנות את פונקציית הבחירה באינדוקציה.
בהינתן אוסף קבוצות לא ריקות של מספרים טבעיים, קל לבנות פונקציה שתבחר איבר מכל קבוצה - מכיוון שהמספרים הטבעיים סדורים בסדר טוב (לפי עקרון הסדר הטוב), ניתן לבנות את הפונקציה המחזירה עבור כל קבוצה את האיבר הקטן ביותר בה.
בהינתן אוסף קטעים לא ריקים על גבי הישר הממשי, קל לבחור נציג לכל קטע: נקודת האמצע שלו.
באופן כללי יותר, בקבוצות פתוחות על הישר הממשי יש נקודות רציונליות, ולכן אפשר לבחור מכל קבוצה נקודה שהמונה שלה הוא הקטן ביותר מבין כל הנקודות בקבוצה שהמכנה שלהן הוא הקטן ביותר.

לעומת זאת, בהינתן אוסף של כל הקבוצות הלא ריקות של מספרים ממשיים, אין שום דרך לבנות פונקציה שכזו בצורה מפורשת, כלומר פונקציה שעבור כל קבוצה (מתוך אינסוף הקבוצות הקיימות) תוכל "להחליט" איזה איבר מתוכה לבחור. על כן, במקרה זה יש צורך באקסיומת הבחירה.

על כן, אקסיומת הבחירה היא בעייתית שכן היא אומרת שניתן לעשות דבר מה, אולם אינה מצביעה על שום דרך לעשותו. אכן, רוב ההוכחות שנסמכות על אקסיומת הבחירה מוכיחות קיום של דבר מה מבלי שיראו דרך מעשית לבנות אותו.

יתר על כן, חלק מהתוצאות של קבלת אקסיומת הבחירה נראות נוגדות את האינטואיציה (וזאת, כזכור, בזמן שאקסיומת הבחירה נדמית אינטואיטיבית מאוד). למשל, אקסיומת הבחירה שקולה למשפט הסדר הטוב, שאומר שניתן לסדר בסדר טוב כל קבוצה. בפרט נובע מכך שניתן לסדר את המספרים הממשיים בסדר טוב - דבר הנראה מנוגד לאינטואיציה ושאין דרך ידועה לעשותו בפועל. דוגמה נוספת היא פרדוקס בנך-טרסקי: באמצעות קבלת אקסיומת הבחירה ניתן לפרק את כדור היחידה במרחב התלת ממדי למספר חלקים, ובאמצעות פעולות של הזזה וסיבוב בלבד להרכיב מהחלקים שני כדורי יחידה מאותו הרדיוס. אקסיומת הבחירה מאפשרת להוכיח שהתהליך אפשרי; היא אינה מראה כיצד ניתן לבצע את התהליך בפועל (יש לזכור כי בכל מקרה מדובר על תהליך הפועל על עצמים מתמטיים מופשטים ואידאליים).

[עריכה] גרסאות חלשות של אקסיומת הבחירה

חוקרי תורת הקבוצות מכירים מאות גרסאות חלשות של אקסיומת הבחירה, והקשרים ביניהם מובנים במידה רבה, אבל לא במלואם. בין הדוגמאות החשובות, לצד אקסיומת הבחירה הרגילה, AC, אפשר למנות את:

DC (עקרון הבחירה התלויה): בכל קבוצה עם יחס r כך שלכל x קיים y כך ש- (x,y) ביחס, יש סדרה של נקודות שכל אחת מהן מתייחסת לקודמתה;
CC: אפשר לבחור מכל סדרה של קבוצות;
Fin: לכל קבוצה אינסופית X יש שיכון $\ \omega \hookrightarrow X$ .
(AC(fin: אפשר לבחור ממשפחה של קבוצות סופיות;
KW (עקרון הבחירה של Kinna-Wagner): אם בכל הקבוצות $\ X_i$ שני אברים או יותר, אפשר לבחור בכולן תת-קבוצות אמיתיות לא ריקות;
(CC(fin: אפשר לבחור מסדרה של קבוצות סופיות;