מידה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה פונקציית מידה (או פשוט: מידה) היא פונקציה המתאימה מספר אי-שלילי (למשל: אורך, נפח או הסתברות) לתת-קבוצות של מרחב נתון, ומקיימת תכונות שימושיות מסוימות (פירוט בהמשך).

מושג המידה חשוב מאוד באנליזה מתמטית ובתורת ההסתברות. תורת המידה היא ענף של אנליזה ממשית שחוקר סיגמא-אלגברות, פונקציות מידה, פונקציות מדידות (לא להתבלבל עם פונקציית מידה) ואינטגרלים. אחד הכלים החשובים בתורת המידה הוא אינטגרל לבג.

[עריכה] הגדרה פורמלית

מידה $\ \mu : \mathcal{A} \to \mathbb{R}_{+} = [0,\infty)$ היא פונקציה המוגדרת על סיגמא-אלגברה $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$ שמכילה תתי-קבוצות של X. הפונקציה נדרשת לקיים את התכונות הבאות, הנקראות אקסיומות המידה:

לקבוצה הריקה יש מידה אפס.
$\ \mu(\emptyset) = 0$
סיגמא-אדיטיביות (אדיטיביות ניתנת להימנות):
יהיו $\ A_1, A_2 , \cdots , A_n , \cdots \in \mathcal{A}$ מספר בן מנייה של קבוצות זרות בזוגות, כלומר: $\ \forall i \ne j : A_i \cap A_j = \emptyset$ .
אזי מתקיים שמידת האיחוד היא סכום המידות, כלומר:
$\ \mu \left( \biguplus_{n=1}^{\infty}{A_n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_n)}$ או ברישום מקוצר: $\ \mu \left( \biguplus_{n}{A_n} \right) = \sum_{n}{\mu(A_n)}$

לעתים נוח יותר להתייחס לכל פונקציה $\ \mu : \mathcal{A} \to \mathbb{C}$ בעלת שתי תכונות אלה בשם "מידה". במקרה כזה, מידה המקיימת לכל קבוצה את התנאי $\ \mu(A)\geq 0$ נקראת "מידה אי-שלילית".

שלשה $\ \left( X , \mathcal{A} , \mu \right)$ שרכיביה מרחב מדגם, סיגמא-אלגברה על המרחב ופונקציית מידה על האלגברה, נקראת מרחב מידה. במקרה כזה, קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה מכונה קבוצה מדידה (ביחס לאותה אלגברה).

[עריכה] תכונות של מידה

מתכונת ההגדרה של הסיגמא האדטיבית לעיל נובעות התכונות השימושיות הבאות:

מונוטוניות ביחס להכלה:

אם $\ A \subseteq B$ אזי $\ \mu(A) \leq \mu(B)$ .

סיגמא תת-אדיטיביות:

יהיו $\ A_1, A_2 , \cdots , A_n , \cdots \in \mathcal{A}$ מספר בן מנייה של קבוצות (לא בהכרח זרות), אזי

$\ \mu \left( \bigcup_{n}{A_n} \right) \leq \sum_{n}{\mu(A_n)}$

רציפות מלמטה:

תהי סדרת קבוצות $\ A_1 \subset A_2 \subset \cdots A_n \subset A_{n+1} \cdots$ , אזי מתקיים:

$\ \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}{ A_n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mu ( A_n )$

רציפות מלמעלה:

תהי סדרת קבוצות $\ A_1 \supset A_2 \supset \cdots A_n \supset A_{n+1} \cdots$ , אזי מתקיים:

$\ \mu \left( \bigcap_{n=1}^{\infty}{ A_n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mu ( A_n )$

[עריכה] תכונות נוספות של מידה

יהי $\ \left( X , \mathcal{A} , \mu \right)$ מרחב מידה.

[עריכה] מידה סיגמא-סופית

מידה נקראת סופית אם $\ \mu(X) < \infty$ (מידת מרחב המדגם עצמו סופית).

מידה נקראת סיגמא-סופית אם ניתן להציג את X כאיחוד בן מנייה של קבוצות בעלות מידה סופית.

לדוגמה: מידת לבג על הישר הממשי היא סיגמא-סופית כי $\ \mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}}{[ n , n+1 ] }$ ומידת כל קטע סגור $\ [ n, n+1 ]$ היא 1.

[עריכה] מידה רגולרית

מידה המוגדרת מעל מרחב טופולוגי X נקרא רגולרית אם מתקיים

$\ \mu(A) = \inf\left\{ \mu(G) \ | \ A \subset G \ , \mbox{G is open} \right\} = \sup\left\{ \mu(F) \ | \ F \subset A \ , \ \mbox{F is closed} \right\}$

לדוגמה: מידת לבג היא מידה רגולרית, הדבר נובע מאופן בנייתה באמצעות מידה חיצונית.

[עריכה] מידה שלמה

מידה חיובית היא שלמה אם לכל קבוצה בעלת מידה אפס E, $\ \mu(E) = 0$ , תת-הקבוצות שלה כולן מדידות (ומידתן, בהכרח, אפס).

לכל מידה קיימת השלמה/הרחבה סטנדרטית המגדירה אותה על הסיגמא-אלגברה המקסימלית של הקבוצות המדידות, שבה המידה המורחבת היא מידה שלמה. כדי להשלים מידה כזאת, מוסיפים לסיגמא-אלגברה המקורית את כל הסיגמא-אלגברה של כל הקבוצות הנבדלות מקבוצות בסיגמא-אלגברה המקורי בקבוצה בעלת מידה אפס (כלומר: $\ \mu ( S \Delta S' ) = 0$ כאשר $Δ$ הוא הפרש סימטרי של קבוצות.